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【题目】如图,抛物线 x轴交与A(1,0),B(- 3,0)两点.

⑴求该抛物线的解析式;

⑵设⑴中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.

⑶在抛物线上BC段是否存在点P,使得PBC面积最大,若存在,求P点坐标;若不存在,说明理由.

【答案】(1);(2)存在,Q(-1,2);(3)存在,

【解析】

(1)根据题意可知,将点A、B代入函数解析式,列得方程组即可求得b、c的值,求得函数解析式;

(2)根据题意可知,边AC的长是定值,要想QAC的周长最小,即是AQ+CQ最小,所以此题的关键是确定点Q的位置,找到点A的对称点B,求得直线BC的解析式,求得与对称轴的交点即是所求;

(3)存在,设得点P的坐标,将BCP的面积表示成二次函数,根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标.

(1)将A(1,0),B(-3,0)代y=-x2+bx+c中得

∴抛物线解析式为:y=-x2-2x+3;

(2)存在.

理由如下:由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称,

∴直线BCx=-1的交点即为Q点,此时AQC周长最小,

y=-x2-2x+3,

C的坐标为:(0,3),

直线BC解析式为:y=x+3,

Q点坐标即为

解得

Q(-1,2);

(3)存在.

理由如下:设P点(x,-x2-2x+3)(-3<x<0),

SBPC=S四边形BPCO-SBOC=S四边形BPCO-

S四边形BPCO有最大值,则SBPC就最大,

S四边形BPCO=SBPE+S直角梯形PEOC

=BEPE+OE(PE+OC)

=(x+3)(-x2-2x+3)+(-x)(-x2-2x+3+3)

= (x+)2++

x=-时,S四边形BPCO最大值=+

SBPC最大=+

x=-时,-x2-2x+3=

∴点P坐标为(-).

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手机型号

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7600

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