【题目】如图,抛物线 与x轴交与A(1,0),B(- 3,0)两点.
⑴求该抛物线的解析式;
⑵设⑴中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
⑶在抛物线上BC段是否存在点P,使得△PBC面积最大,若存在,求P点坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在,Q(-1,2);(3)存在,
【解析】
(1)根据题意可知,将点A、B代入函数解析式,列得方程组即可求得b、c的值,求得函数解析式;
(2)根据题意可知,边AC的长是定值,要想△QAC的周长最小,即是AQ+CQ最小,所以此题的关键是确定点Q的位置,找到点A的对称点B,求得直线BC的解析式,求得与对称轴的交点即是所求;
(3)存在,设得点P的坐标,将△BCP的面积表示成二次函数,根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标.
(1)将A(1,0),B(-3,0)代y=-x2+bx+c中得
,
∴.
∴抛物线解析式为:y=-x2-2x+3;
(2)存在.
理由如下:由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称,
∴直线BC与x=-1的交点即为Q点,此时△AQC周长最小,
∵y=-x2-2x+3,
∴C的坐标为:(0,3),
直线BC解析式为:y=x+3,
Q点坐标即为,
解得,
∴Q(-1,2);
(3)存在.
理由如下:设P点(x,-x2-2x+3)(-3<x<0),
∵S△BPC=S四边形BPCO-S△BOC=S四边形BPCO-,
若S四边形BPCO有最大值,则S△BPC就最大,
∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC,
=BEPE+OE(PE+OC)
=(x+3)(-x2-2x+3)+(-x)(-x2-2x+3+3)
= (x+)2++,
当x=-时,S四边形BPCO最大值=+,
∴S△BPC最大=+=,
当x=-时,-x2-2x+3=,
∴点P坐标为(-,).
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【题目】如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A、C,点D为⊙O上一点,连结AD、OD、BD,∠BAD=∠B=30°.
(1)求证:BD是⊙O的切线.
(2)若OA=8,求OA、OD与围成的扇形的面积.
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【题目】如图是一个常见铁夹的侧面示意图,OA,OB表示铁夹的两个面,C是轴,CD⊥OA于点D,已知DA=15mm,DO=24mm,DC=10mm,
我们知道铁夹的侧面是轴对称图形,请求出A、B两点间的距离。
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【题目】手机经销商计划购进苹果手机的 iPhone8、 iphone8Plus、 iphoneX三款手机共60部,每款手机至少要购进10部,且恰好用完购机款360000元.设购进iPhone8手机部,iPhone8Plus手机部.三款手机的进价和售价如表:
手机型号 | iPhone8 | iphone8Plus | iphoneX |
进价(元部) | 4600 | 6100 | 7600 |
售价(元部) | 5200 | 6800 | 8600 |
(1)用含,的式子表示购进iphoneX手机的部数.
(2)求出与之间的函数关系式.
(3)假设所购进手机全部售出.
①求出预估利润(元)与(部)的函数关系式.
②求出预估利润的最大值,并写出此时购进三款手机各多少部.
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【题目】如图,已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A(4,n),与x轴相交于点B.
(1)填空:n的值为____,k的值为______;
(2)以AB为边作菱形ABCD,使点C在x轴正半轴上,点D在第一象限,求点D的坐标;
(3)观察反比例函数y=的图象,当y≥﹣3时,请直接写出自变量x的取值范围.
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【题目】如图,一艘轮船以18海里/时的速度由西向东航行,在A处测得小岛C在北偏东75°方向上,两小时后,轮船在B处测得小岛C在北偏东60°方向上,在小岛周围15海里处有暗礁,若轮船仍然按18海里/时的速度向东航行,请问是否有触礁危险?并说明理由.
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【题目】如图,为了测量出楼房AC的高度,从距离楼底C处米的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发,沿斜面坡度为i=1:的斜坡DB前进30米到达点B,在点B处测得楼顶A的仰角为53°,求楼房AC的高度(参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈,计算结果用根号表示,不取近似值).
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【题目】先阅读,再填空解答:
方程的根为;
方程的根为.
⑴.方程的根是
⑵.若是关于x的一元二次方程的两个实数根,那么与系数a、b、c的关系是:
⑶.如果是方程的两个根,根据⑵所得的结论,求的值.
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【题目】如图,已知△AOD是等腰三角形,点A(12,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过P,O两点的二次函数y1,和过P、A两点的二次函数y2,的开口均向下,它们的顶点分别为B,C,点B,C分别在OD、AD上.当OD=AD=10时,则两个二次函数的最大值之和等于_____.
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