Question

【题目】如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．

(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．

(2)在(1)中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？

Answer 1

【答案】(1) 当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形，理由见解析；(2) 当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形，理由见解析

【解析】

(1)根据矩形的性质推出∠A=∠D=90°，AB=CD，AM=DM，求出∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，求出∠BMC，即可求出矩形PEMF．
(2)根据AAS证△BFP≌△CEP，推出PE=PF即可．

(1)当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．

证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠A=∠D=90°，

∵AD=2AB=2CD，AM=DM=AD，

∴AB=AM=DM=CD，

∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，

∴∠BMC=180°-45°-45°=90°，

∵PE⊥MC，PF⊥BM，

∴∠MEP=∠FPE=90°，

∴四边形PEMF为矩形，

即当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形；

(2)当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．

理由是：∵四边形PEMF为矩形，

∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°，

在△BFP和△CEP中

，

∴△BFP≌△CEP(AAS)，

∴PE=PF，

∵四边形PEMF是矩形，

∴矩形PEMF是正方形，

即当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．