Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线ybx+c，经过点A（1，3）、B（0，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C

（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）如图1，点G是BC上方抛物线上的一个动点，分别过点G作GH⊥BC于点H、作GE⊥x轴于点E，交BC于点F，在点G运动的过程中，△GFH的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，过A点的直线垂直x轴于点M，点N为直线AM上任意一点，当△BCN为直角三角形时，请直接写出点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）,；（2）见解析;（3）（1，0）或（1，4）或（1，﹣1）或（1，9）.

【解析】

（1）中由待定系数法即可求解；

（2）先由题意求出点C（4，3），得出直线BC的方程为y=x+1，求出BC=2，又根据△BCI∽△FGH得出∠BCI=∠FGH，从而tan∠BCI=tan∠FGH=，G(x，x2+x+1)，则F(x，x+1)得出GF= (x2)2+2，所以可得当x=2时，GF最长，此时△GFH周长最大．由相似比及正切函数的性质即可求得△GFH的周长为：GF+FH+GH=2++2；

（3）设N（1，n）由已知B（0，1），C（4，3）可求出BN2=12+（n-1）2=n2-2n+2，CN2=32+（n-3）2=n2-6n+18，BC2=42+22=20，分三种性况讨论：当∠BNC=90°时，BN2+CN2=BC2，得n1=0，n2=4；当∠CBN=90°时，BN2+BC2=CN2，得n3=-1当∠BCN=90°时，BC2+CN2=BN2，得n4=9最后得N点的坐标为：（1，0）或（1，4）或（1，-1）或（1，9）．

（1）∵抛物线ybx+c，经过点A（1，3）、B（0，1），

∴ 解得：，c=1

∴抛物线的表达式为：

∵，

∴顶点坐标为：；

（2）∵A（1，3），∴把y=3代入，可得x1=1，x，2=4

∴C（4，3）

由B（0，1）、C（4，3）

得直线BC的表达式为，BC

延长CA与y轴交于点I，则I（0，3）

∵点G是BC上方抛物线上的一个动点，分别过点G作GH⊥BC于点H、作GE⊥x轴于点E，交BC于点F，

∴△BCI∽△FGH

∴∠BCI=∠FGH

∵tan∠BCI，

∴tan∠FGH

设，则

∴GF

∴当x=2时，GF最长，此时△GFH周长最大．

∴GF=2

∵

∴

∴GH

△GFH的周长为：GF+FH+GH=22；

（3）如图2，由题意，设N（1，n）

∵B（0，1）、C（4，3）

∴BN2=12+（n﹣1）2=n2﹣2n+2，

CN2=32+（n﹣3）2=n2﹣6n+18，

BC2=42+22=20

当∠BNC=90°时，BN2+CN2=BC2，即（n2﹣2n+2）+（n2﹣6n+18）=20

得n1=0，n2=4；

当∠CBN=90°时，BN2+BC2=CN2，即（n2﹣2n+2）+20=n2﹣6n+18

得n3=﹣1

当∠BCN=90°时，BC2+CN2=BN2，即20+n2﹣6n+18=n2﹣2n+2

得n4=9

综上所述：N点的坐标为：（1，0）或（1，4）或（1，﹣1）或（1，9）