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【题目】如图1,是用量角器一个角的操作示意图,量角器的读数从M点开始(即M点的读数为0),如图2,把这个量角器与一块30°(∠CAB30°)角的三角板拼在一起,三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合,现有射线C绕点CCA开始沿顺时针方向以每秒的速度旋转到与CB,在旋转过程中,射线CP与量角器的半圆弧交于E.连接BE

1)当射线CP经过AB的中点时,点E处的读数是   ,此时BCE的形状是   

2)设旋转x秒后,点E处的读数为y,求yx的函数关系式;

3)当CP旋转多少秒时,BCE是等腰三角形?

【答案】160°,直角三角形;(2y4x0≤x≤45);(37.5秒或30

【解析】

1)根据圆周角定理即可解决问题;

2)如图22中,由题意∠ACE2x,∠AOEy,根据圆周角定理可知∠AOE2ACE,可得y2x0≤x≤45);

3)分两种情形分别讨论求解即可;

解:(1)如图21中,

∵∠ACB90°OAOB

OAOBOC

∴∠OCA=∠OAC30°

∴∠AOE60°

∴点E处的读数是60°

∵∠E=∠BAC30°OEOB

∴∠OBE=∠E30°

∴∠EBC=∠OBE+ABC90°

∴△EBC是直角三角形;

故答案为60°,直角三角形;

2)如图22中,

∵∠ACE2x,∠AOEy

∵∠AOE2ACE

y4x0≤x≤45).

3)①如图23中,当EBEC时,EO垂直平分线段BC

ACBC

EOAC

∴∠AOE=∠BAC30°

∴∠ECAAOE15°

x7.5

②若24中,当BEBC时,

易知∠BEC=∠BAC=∠BCE30°

∴∠OBE=∠OBC60°

OEOB

∴△OBE是等边三角形,

∴∠BOE60°

∴∠AOB120°

∴∠ACEACB60°

x30

综上所述,当CP旋转7.5秒或30秒时,△BCE是等腰三角形;

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