【题目】如图，正方形ABCD的边长为6，E、F分别是边CD、AD上动点，AE和BF交于点G．
（1）如图（1），若E为边CD的中点，AF=2FD，求AG的长．
（2）如图（2），若点F在AD上从A向D运动，点E在DC上从D向C运动，两点同时出发，同时到达各自终点，求在运动过程中，点G运动的路径长．
（3）如图（3），若E、F分别是边CD、AD上的中点，BD与AE交于点H，求∠FBD的正切值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】
（1）根据正方形的边长为6，易知DE = CE = 3；由已知AF=2FD可得AF = 4；从而用AAS证明△ADE≌△MCE（AAS），进而求出AD = MC = 6；通过证明△AGF∽△MBG，再通过相似三角形的性质得
，运用勾股定理计算出AM=
,最后得出AG
；
（2）动点问题，通过证明△ABF≌△DAE(HL)，进而得出AFG =∠AED，∠DAE =∠ABF等量关系，易推论出∠AFG+∠DAE=90° ，以证明∠AGB=90°,从而推出G点运动的实质是在以O为圆心，OA为半径的圆上运动了
圆周，运用扇形的弧长公式计算即可得G运动路径的长度；
（3）通过做辅助线过点F作FN⊥BD于点D，构建出Rt△BNF和Rt△DNF，再根据已知条件E、F分别是边CD、AD上的中点，解直角三角形分别求出直角边NF = ND
，BN=BD-DN,最后把所求数据代入
求解即可.
解：（1）延长AE交BC延长线于M,
在正方形ABCD中，∠DAE =∠M
∵E为DC的中点，AF=2FD,正方形边长为6
∴DE = CE = 3，AF = 4
在△ADE和△MCE中
∴△ADE≌△MCE（AAS）
∴AD = MC = 6
在△AGF和△MBG中
∴△AGF∽△MBG
∴
AM=
∴AG.
（2）设AB的中点为点O，则OA =
AB = 3，
由题意知：AF=DE，AB=AD
∴△ABF≌△DAE(HL)
∴∠AFG =∠AED，∠DAE =∠ABF
∵∠AFG +∠ABF=90°，∠DAE +∠AED=90°
∴∠AFG+∠DAE=90°
∴∠AGB=90°
∴点G 在以O为圆心，OA为半径的圆上运动了圆周
∴点G运动的路径长 = 
π = 
π；
（3）过点F作FN⊥BD于点D，据题意知∠FDN=45°，BD = 
∵E、F分别是边CD、AD上的中点
∴DF = ×6 = 3
∴在Rt△DNF中,FN = DN = sin45°DF
∴BN = BD–DN =
∴
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【题目】如图， 在边长为
且一个内角为
的菱形
中， 点
以每秒
的速度从点
出发，沿
的路径运动，到点
停止，点
也以每秒的速度从点A出发，沿
方向运动，到点
停止，两点同时出发，过点作
⊥
，与边
（或边
）交于点
，
的面积
与点的运动时间
（秒）的函数图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
（3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上是否存在点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，若没有，说明理由；若有，求出点P，Q的坐标．
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【题目】如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC＝1，AD＝x，△BDE的面积为S．
（1）当α＝30°时，求x的值．
（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S＝
时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．
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【题目】观察下列各式规律：① 52-22=3×7；②72-42=3×11；③ 92-62=3×11；…；根据上面等式的规律：
（1）写出第6个和第n个等式；
（2）证明你写的第n个等式的正确性．
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【题目】观察下列各式规律：① 52-22=3×7；②72-42=3×11；③ 92-62=3×11；…；根据上面等式的规律：
（1）写出第6个和第n个等式；
（2）证明你写的第n个等式的正确性．
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【题目】已知直角三角形纸片的两直角边AC与BC的比为3：4，首先将△ABC如图1所示折叠，使点C落在AB上，折痕为BD，然后将△ABD如图2所示折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则sin∠DEA的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金4600元．
（1）求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？
（2）该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预汁用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案；
（3）若销售一箱甲型口罩，利润率为40%，乙型口罩的售价为每箱1280元．为了促销，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金
元，而甲型口罩售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求的值．
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【题目】某学校计划组织1200名师生参加社会实践活动，其中包括25名教师与某公交公司洽谈后得知该公司有A、B型两种客车．每辆A型客车载客54人，租金480元；每辆B型客车载客36人，租金280元．由于每辆车上要求有一名教师，决定租用25辆客车．
设租用A型客车x辆（x为非负整数）．
（Ⅰ）根据题意填写下表：
客车类型 | 车辆数（辆） | 载客数（人） | 租金（元） |
A型客车 | x | ||
B型客车 |
|
（Ⅱ）若租车总费用为10800元，怎样安排车辆？
（Ⅲ）采取怎样的租车方案可以使租车总费用最低，最低是多少元？
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