Question

【题目】已知：如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：
（1）求△ABC的面积；
（2）当t为何值是，△PBQ是直角三角形？
（3）探究：是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的八分之五？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，过点A作AD⊥BC，则∠BAC=30°，

∵AC=4，

∴CD= AC=2，

∴Rt△ACD中，AD= =2 ，

∴△ABC的面积= ×BC×AD= ×4×2 =4

（2）解：设经过t秒，△PBQ是直角三角形，则AP=tcm，BQ=tcm，

△ABC中，AB=BC=4cm，∠B=60°，

∴BP=（4﹣t）cm，

若△PBQ是直角三角形，则分两种情况：

① 当∠BQP=90°时，BQ= BP，

即t= （4﹣t），

解得t= （秒），

②当∠BPQ=90°时，BP= BQ，

4﹣t= t，

解得t= （秒），

综上所述，当t= 秒或 秒时，△PBQ是直角三角形

（3）解：不存在这样的t．

理由：如图，作QD⊥AB于D，则∠BQD=30°，

∴QD= BD= × t= t，

∴△BQP的面积= ×BP×QD

= ×（4﹣t）× t

= t﹣ t2，

当四边形APQC的面积是△ABC面积的 时，△BQP的面积是△ABC面积的 ，

即 t﹣ t2= ×4 ，

化简得：t2﹣4t+6=0，

∵△=b2﹣4ac=16﹣4×1×6=﹣8＜0，

∴不存在这样的t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的八分之五．

【解析】（1）过点A作AD⊥BC，根据勾股定理求出AD的长，利用三角形的面积公式进行解答即可；（2）分两种情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°，然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的长和∠B的度数进行求解即可；（3）先作QD⊥AB于D，根据∠BQD=30°，得到QD= BD= × t= t，然后根据四边形APQC的面积是△ABC面积的八分之五，可得出一个关于t的方程，如果方程无解，则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可．
【考点精析】通过灵活运用求根公式和含30度角的直角三角形，掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半即可以解答此题．