Question

【题目】已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若，如图①.

(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；

(2)设AE与DF相交于点M，如图②，AF＝2FC＝4，求AM的长．

Answer 1

【答案】(1)等腰三角形 (2)

【解析】(1)、易证∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE，即可解题；(2)、连接OB、OC、OD、OF，易证AD=AF，BD=CF可得DF∥BC，再根据AE长度即可解题．

(1)等腰三角形．

证明：∵AC，AB，BC是⊙O的切线， ∴∠BDO＝∠BEO＝∠CFO＝∠CEO＝90°.

∵＝，∴∠EOF＝∠EOD， ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC， 即△ABC是等腰三角形；

(2)∵AC＝AB，CE＝BE， ∴AE⊥BC，∠FAO＝∠DAO，∵AF＝AD，

∴FM＝DM，AE⊥DF，∴AE过圆心O，DF∥BC，∴AF∶AC＝DF∶BC，即4∶6＝DF∶4，

∴DF＝，∴FM＝， ∴AM＝＝.