如图.正方形ABCD的边长为1.将长为1的线段QR的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发.按A→B→C→D→A的方向滑动到A停止.同时点R从点B出发.按B→C→D→A→B的方向滑动到B停止.在这个过程中.线段QR的中点M所经过的路线围成的图形面积为( )A．$\frac{π}{4}$B．4-πC．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

15．

如图，正方形ABCD的边长为1，将长为1的线段QR的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，按A→B→C→D→A的方向滑动到A停止，同时点R从点B出发，按B→C→D→A→B的方向滑动到B停止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形面积为（　　）

A．

$\frac{π}{4}$

B．

4-π

C．

D．

$\frac{4-π}{4}$

分析根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M到正方形各顶点的距离都为0.5，故点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以0.5为半径的四个扇形，点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．

解答解：根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为0.5，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以0.5为半径的四个扇形，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．
∵正方形ABCD的面积为1×1=1，4个扇形的面积为4×$\frac{90π×0．{5}^{2}}{360}$=$\frac{π}{4}$，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为1-$\frac{π}{4}$=$\frac{4-π}{4}$．
故选：D．

点评本题直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的性质以及扇形面积的计算．

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