Question

15．已知二次函数y=ax²+bx-$\frac{3}{2}$的图象与y轴交于点B．
（1）若二次函数的图象经过点A（1，1），
①二次函数的对称轴为直线x=1，求此二次函数的解析式；
②对于任意的正数a，当x＞n时，y随x的增大而增大，请求出n的取值范围．
（2）若二次函数的图象的对称轴为直线x=-1，且直线y=2x-2与直线l也关于直线x=-1对称，且二次函数的图象在-5＜x＜-4这一段位于直线l的上方，在1＜x＜2这一段位于直线y=2x-2的下方，求此二次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）①由题意得出$\left\{\begin{array}{l}{a+b-\frac{3}{2}=1}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$，从而求得二次函数的解析式；
②由二次函数的图象经过点A（1，1），得出a+b$\frac{3}{2}$=1，进而得出b=$\frac{5}{2}$-a，根据题意对称轴x=n=-$\frac{\frac{5}{2}-a}{2a}$=-$\frac{5}{4a}$+$\frac{1}{2}$，由a＞0，则-$\frac{5}{4a}$＜0，即可求得n＜$\frac{1}{2}$；
（2）由题意得出抛物线经过（-4，2），代入解析式得出16a-4b-$\frac{3}{2}$=0，根据对称轴x=-1，得出b=2a，代入即可求得a、b的值．

解答 解：（1）①由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a+b-\frac{3}{2}=1}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$．
∴此二次函数的解析式为y=-$\frac{5}{2}$x²+5x-$\frac{3}{2}$；
②∵二次函数的图象经过点A（1，1），
∴a+b$\frac{3}{2}$=1，
∴b=$\frac{5}{2}$-a，
∵当x＞n时，y随x的增大而增大，
∴对称轴x=n=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{\frac{5}{2}-a}{2a}$=-$\frac{5}{4a}$+$\frac{1}{2}$，
∵a＞0，∴-$\frac{5}{4a}$＜0，
∴n≥$\frac{1}{2}$；
（2）由直线y=2x-2可知：直线y=2x-2与直线x=-1的交点为（-1，-4），与x轴的交点为（1，0），
∵直线y=2x-2与直线l也关于直线x=-1对称，
∴直线l与x轴的交点为（-3，0），
∴直线l为：y=-2x-6
由题意：抛物线经过（-4，2），
∴16a-4b-$\frac{3}{2}$=2，
∵对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{7}{16}}\\{b=\frac{7}{8}}\end{array}\right.$，
∴此二次函数的解析式为y=$\frac{7}{16}$x²+$\frac{7}{8}$x-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据题意列出方程组是解题的关键．