Question

3．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中，x与y的部分对应值如下表：

x	…	-2	-1	0	1	2	3	4	…
y	…	-3.5	-1	0.5	1	0.5	-1	-3.5	…

有下列结论：
①函数有最大值，且最大值为1；
②若x₀满足y=ax₀²+bx+c，则2＜x₀＜3或-1＜x₀＜0；
③若方程ax²+bx+c+m=0有两个不等的实数根且m＜-1；
④对于任意实数m，当m≠1时，有m（am+b）＜$\frac{1}{2}$．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据表格给出的数据和二次函数的各种性质逐项分析即可．

解答 解：①由表格给出的数据可知x=1时，函数有最大值，且最大值为1，故此结论正确；
②当2＜x＜3时，函数y的取值范围为-1＜y＜0.5，当-1＜x＜0时，y的取值范围为-1＜y＜0.5，所以，若x₀满足y=ax₀²+bx+c，则2＜x₀＜3或-1＜x₀＜0，故本结论正确；
③∵二次函数y=ax²+bx+c经过（-1，-1），顶点是（1，1），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+1，
∴-1=a（-1-1）²+1，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+1=-$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{1}{2}$，
∵方程-$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{1}{2}$+m=0有两个不等的实数根，
∴△=1-4×（-$\frac{1}{2}$）×（-$\frac{1}{2}$+m）＞0，
解得m＞0，故此结论错误；
④∵a=-$\frac{1}{2}$，b=1，
∴m（am+b）-$\frac{1}{2}$=m（-$\frac{1}{2}$m+1）-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$m²+m-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（m-1）²，
∴m（am+b）-$\frac{1}{2}$的最大值为0
∵m≠1，
∴-$\frac{1}{2}$m²+m-$\frac{1}{2}$＜0，
∴m（am+b）＜$\frac{1}{2}$．故此结论正确．
故选C．

点评 本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法得出二次函数的解析式是解题关键，同时利用了二次函数的性质，函数与不等式的关系．