Question

【题目】已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为 E．

（1）求证：DC＝BD；

（2）求证：DE为⊙O的切线；

（3）若AB＝12，AD＝6，连接OD，求扇形BOD的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6π

【解析】

（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，然后由三线合一可得结论；

（2）连接OD，证明OD∥AC，得到∠ODE＝90°即可；

（3）根据三角函数的定义得到sinB＝＝＝，求得∠B＝60°，得到∠BOD＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．

证明：（1）连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

又∵AB＝AC，

∴DC＝BD；

（2）连接OD，

∵OA＝OB，CD＝BD，

∴OD∥AC，

∴∠ODE＝∠CED，

又∵DE⊥AC，

∴∠CED＝90°，

∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．

∴DE是⊙O的切线；

（3）∵AB＝12，AD＝6，

∴sinB＝＝＝，

∴∠B＝60°，

∴∠BOD＝60°，

∴S扇形BOD＝＝6π．