Question

19．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，点A、B是二次函数图象上的两点，AB∥x轴且与y轴交于点C（点C在二次函数图象于y轴交点的下方），有下列结论：①ac＜0；②方程ax²+bx+c=0的两根是x₁=-1，x₂=3；③函数有最小值，最小值是a+b+c；④当x＞0时，y随x的增大而减小；⑤BC=3AC．其中正确的结论的序号是①、②．

Answer 1

分析 由抛物线的开口方向可确定a的符号，由抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号，从而可以判定ac的符号；由抛物线与x轴交点坐标可得到方程ax²+bx+c=0的两根；由抛物线的开口方向可判定函数有最大值或最小值；结合图象可知二次函数的增减性；可举反例说明BC=3AC不一定正确．

解答 解：由抛物线的开口向下可得a＜0，
由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可得c＞0，
∴ac＜0，故①正确；
由抛物线的与x轴的交点的横坐标分别为-1和3可得，
y=0即ax²+bx+c=0时，x₁=-1，x₂=3，故②正确；
由对称轴x=1及a＜0可得，
当x=1时，函数有最大值，最大值是a+b+c，故③错误；
结合图象可得：
当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误．
当a=-1，C（0，-5）时，抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3），
令y=-5，得-（x+1）（x-3）=-5，
整理得x²-2x-8=0，
解得x₁=-2，x₂=4，
此时AC=2，BC=4，
可得BC=2AC，故⑤错误．
综上所述：①、②正确．
故答案为①、②．

点评 本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质等知识，其中a决定于抛物线的开口方向，c决定于抛物线与y轴的交点位置，抛物线与x轴交点横坐标就是方程ax²+bx+c=0的两根，运用数形结合的思想准确获取相关信息是解决本题的关键．