【题目】如图1,已知线段AB、CD相交于点O,连接AC、BD,则我们把形如这样的图形称为“8字型”.
(1)求证:∠A+∠C=∠B+D;
(2)如图2,若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,且与CD、AB分别相交于点M、N.
①以线段AC为边的“8字型”有 个,以点O为交点的“8字型”有 个;
②若∠B=100°,∠C=120°,求∠P的度数;
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP=∠CAB,∠CDP=
∠CDB”,试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系,并证明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)①3, 4;②∠P=110°;③3∠P=∠B+2∠C,理由见解析.
【解析】
(1)由三角形内角和得到∠A+∠C=180°﹣∠AOC,∠B+∠D=180°﹣∠BOD,由对顶角相等,得到∠AOC=∠BOD,因而∠A+∠C=∠B+∠D;
(2)①以线段AC为边的“8字形”有3个,以O为交点的“8字形”有4个;
②根据(1)的结论,以M为交点“8字型”中,∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,以N为交点“8字型”中,∠P+∠BAP=∠B+∠BDP,两等式相加得到2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP,由AP和DP是角平分线,得到∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP,从而∠P=(∠B+∠C),然后将∠B=100,∠C=120代入计算即可;
③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C.
解:(1)在图1中,有∠A+∠C=180°﹣∠AOC,∠B+∠D=180°﹣∠BOD,
∵∠AOC=∠BOD,
∴∠A+∠C=∠B+∠D;
(2)解:①以线段AC为边的“8字型”有3个:
以点O为交点的“8字型”有4个:
②以M为交点“8字型”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,
以N为交点“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP,
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC,
∴∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP,
∴2∠P=∠B+∠C,
∵∠B=100°,∠C=120°,
∴∠P=(∠B+∠C)=
(100°+120°)=110°;
③3∠P=∠B+2∠C,其理由是:
∵∠CAP=∠CAB,∠CDP=
∠CDB,
∴∠BAP=∠CAB,∠BDP=
∠CDB,
以M为交点“8字型”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,
以N为交点“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P=∠CDP﹣∠CAP=(∠CDB﹣∠CAB),
∠P﹣∠B=∠BDP﹣∠BAP=(∠CDB﹣∠CAB).
∴2(∠C﹣∠P)=∠P﹣∠B,
∴3∠P=∠B+2∠C.
故答案为:(1)证明见解析;(2)①3, 4;②∠P=110°;③3∠P=∠B+2∠C,理由见解析.
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【题目】“绿色出行,低碳健身”已成为广大市民的共识.为方便市民出行,东台市推出了公共自行车系统,收费以小时为单位,每次使用不超过1小时的免费,超过1小时后,不足1小时的部分按1小时收费.小红同学通过调查得知,自行车使用时间为3小时,收费2元;使用时间为4小时,收费3元.她发现当使用时间超过1小时后用车费用与使用时间之间存在一次函数的关系.
(1)设使用自行车的费用为元,使用时间为
小时(
为大于1的整数),求
与
的函数解析式;
(2)若小红此次使用公共自行车5小时,则她应付多少元费用?
(3)若小红此次使用公共自行车付费6元,求她所使用自行车的时间.
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【题目】在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的三个顶点的位置如图所示,现将△ABC平移,使点A变换为点A′,点B′、C′分别是B、C的对应点.
(1)请画出平移后的△A′B′C′,并求△A′B′C′的面积;
(2)若连接AA′,CC′,则这两条线段之间的关系是 .
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【题目】在某次海上军事学习期间,我军为确保△OBC海域内的安全,特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域,在雷达显示图上,军舰B在军舰O的正东方向80海里处,军舰C在军舰B的正北方向60海里处,三艘军舰上装载有相同的探测雷达,雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域.(只考虑在海平面上的探测)
(1)若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控,则雷达的有效探测半径r至少为多少海里?
(2)现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域,在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上,同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上,求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里?
(3)若敌舰A沿最短距离的路线以20 海里/小时的速度靠近△OBC海域,我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截,问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A?
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【题目】如图,A、B、C在同一直线上,
(1)若∠A=∠3,依据__________,可得______∥_______;
(2)若∠______=∠______,则依据内错角相等,两直线平行,可得DB∥EC;
(3)若∠______+∠_______=180°,则AD∥BE,依据是____________;
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【题目】如图,已知A(1,6)B(n,﹣2)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y= 的图象的两个交点,直线与y轴交于C点.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)求△BOC的面积;
(3)直接写出不等式kx+b﹣ >0的解集.
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