Question

19．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过一次函数y=-$\frac{3}{2}$x+2的图象与x轴，y轴的交点，并且经过点（1，-1），求这个二次函数的表达式，并用配方法将表达式化为y=a（x-h）²+k的形式．

Answer 1

分析 由题意先设出二次函数的解析式：y=ax²+bx+c，一次函数y=-$\frac{3}{2}$x+2的图象与x轴、y轴的交点在二次函数图象上，分别令一次函数x=0，y=0求出其与x轴、y轴的交点，再根据点（1，-1）也在二次函数图象上，把三点代入二次函数的解析式，用待定系数法求出二次函数的解析式．

解答 解：由y=-$\frac{3}{2}$x+2的图象与x轴、y轴的交点，并且经过点（1，-1），
令x=0，得y=2；
令y=0，得x=$\frac{4}{3}$
∴二次函数图象经过（0，2），（$\frac{4}{3}$，0），（1，-1）三点，
把（0，2），（$\frac{4}{3}$，0），（1，-1）分别代入y=ax²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{\frac{16}{9}a+\frac{4}{3}b+c=0}\\{a+b+c=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{9}{2}}\\{b=-\frac{15}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴所求二次函数关系式为y=$\frac{9}{2}$x²-$\frac{15}{2}$x+2．
∵y=$\frac{9}{2}$x²-$\frac{15}{2}$x+2=$\frac{9}{2}$（x-$\frac{5}{6}$）²-$\frac{9}{8}$．
∴该二次函数的y=a（x-h）²+k的形式是y=$\frac{9}{2}$（x-$\frac{5}{6}$）²-$\frac{9}{8}$．

点评 此题主要考查一次函数和二次函数的基本性质，一次函数与x轴、y轴的交点坐标，用待定系数法求出二次函数的解析式，把一般式化成顶点．