Question

已知，平面直角坐标系中，A在x轴正半轴，B（0，1），AB=2．
（1）如图1，求∠OAB的度数；
（2）如图2，以AB为边作等边△ABE，AD⊥AB交OA的垂直平分线于D，求证：BD=OE；
（3）如图3，在（2）的条件下，DE交AB于F，求

DF

EF

的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由条件可知AB=2OB，可知∠OAB=30°；
（2）连接OD，易证△ADO为等边三角形，再证△ABD≌△AEO即可；
（3）作EH⊥AB于H，先证△ABO≌△AEH，得AO=EH，再证△AFD≌△EFH，可得DF=EF，可求得比值．

解答：（1）解：
在Rt△ABO中，AB=2，OB=1，
∴sin∠OAB=

OB

AB

=

1

2

，
∴∠OAB=30°；
（2）证明：连接OD，如图1，

∵∠BAO=30°，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D，
∴∠DAO=60°，
又DO=DA，
∴△ADO为等边三角形．
∴DA=AO，
在△ABD和△AEO中

AD=AO ∠DAB=∠OAE AB=AE

∴△ABD≌△AEO（SAS），
∴BD=OE．
（3）证明：如图2，作EH⊥AB于H．

∵AE=AB，BO=

1

2

AB，
∴AH=BO，
在Rt△ABO和Rt△AEH中，

AH=BO AE=AB

，
∴Rt△ABO≌Rt△AEH（HL），
∴AO=EH=AD．
又∠EHF=∠DAF=90°，
在△AFD和△EFH中，

∠EHF=∠DAF ∠EFH=∠DFA EH=AD

∴△AFD≌△EFH（AAS），
∴EF=DF，
∴

DF

EF

=1．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质，解题时注意构造三角形全等从而找到线段相等是解题的关键，知识点较多，难度较大．