【题目】如图,在边长为1的正方形组成的网格中,的顶点均在格点上,绕点顺时针旋转后得到.
(1)画出;(其中、对应点分别是、)
(2)分别画出旋转过程中,点点经过的路径;
①求点经过的路径的长;
②求线段所扫过的面积.
【答案】(1)作图见详解;(2)作图见详解;①;②.
【解析】
(1)根据旋转的性质作出图形即可;
(2)根据对应点到旋转中心的距离相等可知点B点C经过的路径分别为以A圆心,AB,AC为半径的圆弧;①根据题意求出劣弧BB’的长即可;②如图,BC边扫过的面积为阴影部分的面积,它等于扇形ACC’的面积+△ABC的面积-扇形ABB’的面积-△AB’C’的面积,根据旋转的性质可知△ABC的面积=△AB’C’的面积,故阴影部分的面积=扇形ACC’的面积-扇形ABB’的面积即可.
解:(1)如图所示:
(2)如图所示:
①AB==,
∴弧BB’的长==.
②∵AC===2,
∴线段所扫过的面积=扇形ACC’的面积+△ABC的面积-扇形ABB’的面积-△AB’C’的面积
∵△ABC的面积=△AB’C’的面积,
∴线段所扫过的面积=扇形ACC’的面积-扇形ABB’的面积
=-
=5-
=.
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【题目】已知△ABC的一条边BC的长为5,另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程的两个实数根。
(1)求证:无论k为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)当k=2时,请判断△ABC的形状并说明理由;
(3)k为何值时,△ABC是等腰三角形,并求△ABC的周长。
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【题目】有这样一个问题:探究函数的图象与性质.小东根据学习函数的经验,对函数的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程,请补充完整:
(1)函数的自变量x的取值范围是 ;
(2)下表是x与y的几组对应值.
... | 1 | 2 | 3 | ... | ||||||||
... | m | ... |
求m的值;
(3)如图,在平面直角坐标系中,已描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;
(4)进一步探究发现,该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1,).结合函数的图象,写出该函数的其它性质(写两条即可).
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【题目】对于二次函数和一次函数,我们把 称为这两个函数的“再生二次函数”,其中t是不为零的实数,其图象记作抛物线E.现有点A(1,0)和抛物线E上的点B(2,n),请完成下列任务:
(尝试)
(1)当t=2时,抛物线的顶点坐标为 .
(2)判断点A是否在抛物线E上;
(3)求n的值.
(发现)通过(2)和(3)的演算可知,对于t取任何不为零的实数,抛物线E总过定点,定点的坐标 .
(应用)二次函数是二次函数和一次函数 的一个“再生二次函数”吗?如果是,求出t的值;如果不是,说明理由.
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【题目】已知某种产品的进价为每件40元,现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查发现,该产品每降价1元,每星期可多卖出20件,由于供货方的原因销量不得超过380件,设这种产品每件降价x元(x为整数),每星期的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)该产品销售价定为每件多少元时,每星期的销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)该产品销售价在什么范围时,每星期的销售利润不低于6000元,请直接写出结果.
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【题目】(1)如图1,在五边形ABCDE中,AB=AE,∠B=∠BAE=∠AED=90°,∠CAD=45°,试猜想BC,CD,DE之间的数量关系.小明经过仔细思考,得到如下解题思路:
将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF,由∠B=∠AED=90°,得∠DEF=180°,即点D,E,F三点共线,易证△ACD≌ ,故BC,CD,DE之间的数量关系是 ;
(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC+∠D=180°,点E,F分别在边CB,DC的延长线上,∠EAF=∠BAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系,并给出证明.
(3)如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E均在边BC上,且∠DAE=45°,若BD=2,CE=3,则DE的长为 .
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,BC为⊙O的切线,D为⊙O上的一点,CD=CB,延长CD交BA的延长线于点E.
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若OF⊥BD于点F,且OF=2,BD=4,求图中阴影部分的面积.
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