Question

【题目】如图，等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点．连接BE，AF．点G是线段BE的中点，BN∥AC，BN与AG延长线交于点N．

（1）若∠BAN＝15°，求∠N；

（2）若AE＝CF，求证：2AG＝AF．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）见解析

【解析】

（1）由等边三角形的性质可知∠ABC＝∠ACB＝60°，由平行线的性质可知∠NBC＝60°，进一步求出∠ABN＝120°，再由三角形内角和定理即可求出∠N的度数；

（2）先证△NBG≌△AEG，得到AG＝NG，AE＝BN，再证△ABN≌△ACF，即可推出AF＝2AG．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵AC∥BN，

∴∠NBC＝∠ACB＝60°，

∴∠ABN＝∠ABC+∠NBC＝120°，

∴在△ABN中，

∠N＝180°﹣∠ABN﹣∠BAN＝180°﹣120°﹣15°＝45°；

（2）∵AC∥BN，

∴∠N＝∠GAE，∠NBG＝∠AEG，

又∵点G是线段BE的中点，

∴BG＝EG，

∴△NBG≌△AEG（AAS），

∴AG＝NG，AE＝BN，

∵AE＝CF，

∴BN＝CF，

∵∠ACB＝60°，

∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝120°，

∴∠ABN＝∠ACF，

又∵AB＝AC，

∴△ABN≌△ACF（SAS），

∴AF＝AN，

∵AG＝NG＝AN，

∴AF＝2AG．