Question

【题目】如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为(2,0).

(1) 求点B的坐标；

(2) 若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；

(3) 在(2)中的二次函数图象的OB段(不包括点O、B)上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】

【1】()

【2】y=x2+x.

【3】()，

【解析】

(1) 在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴ OB=. 过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则 OD=，BD=，∴点B的坐标为() .

(2) 将A(2,0)、B ()、O(0,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c，得

解有a=，b=，c="0." ∴所求二次函数解析式是 y=x2+x.

(3) 设存在点C (x ,x2+x) (其中0<x<)，使四边形ABCO面积最大.

∵△OAB面积为定值，

∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大.

过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，则

S△OBC= S△OCF+S△BCF==，

而 |CF|=yC-yF=，

∴ S△OBC=.

∴当x=时，△OBC面积最大，最大面积为.

此时，点C坐标为()，四边形ABCO的面积为.