【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过原点,与x轴交于另一点A,对称轴x=-2交x轴于点C,直线l过点N(0,-2),且与x轴平行,过点P作PM⊥l于点M,△AOB的面积为2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当∠MPN=∠BAC时,求P点坐标;
(3)①求证PM=PC;
②若点Q坐标为(0,2),直接写出PQ+PC的最小值.
【答案】(1);(2)点P坐标为(,)或(,);(3)①见解析;②PQ+PC的最小值为4.
【解析】
(1)结合经过原点以及顶点和坐标轴进行计算即可;(2)设P点坐标为(x,),将P点在y轴左和右分类讨论解答.(3)①过点P作PD⊥BC于点D,则PD=x+2,DC=,结合(2),在Rt△PCD中运用勾股定理进行计算即可证明;②由①知,PM=PC,当Q、P、M三点共线时, PQ+PC的最小值为PQ+PM的最小值,求出最小值即可.
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点,且对称轴为x=-2,
∴c=0,OA=4,又△AOB的面积为2,
∴BC=1,即顶点B的坐标为(-2,-1),
∴,,解得a=,b=1,
∴抛物线的解析式为;
(2)∵BC=1,AC=2,
∴tan∠BAC=,设P点坐标为(x,),如答图1,当点P在y轴右侧,PM=-(-2)=,MN=x,
∴tan∠MPN==,即,此方程无解;
如答图2,当点P在y轴左侧,此时PM=,MN=-x,
∴tan∠MPN==,即,解得,,则,,
∴点P坐标为(,)或(,);
(3)①如答图3,过点P作PD⊥BC于点D,则PD=x+2,DC=,
由(2)知PM=,在Rt△PCD中,
PC2===PM2,
∴PM=PC;
②由①知,PM=PC,
∴PQ+PC的最小值为PQ+PM的最小值,当Q、P、M三点共线时, PQ+PM=QM,
∵Q(0,2),
∴QM=QN=4,
∴ PQ+PC的最小值为4.
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【题目】如图,反比例函数y=﹣在第二象限的图象上有两点A、B,它们的横坐标分别为﹣1、﹣2,在直线y=x上求一点P,使PA+PB最小.则P点坐标为( )
A. P(,)B. P(,)C. P(1,1)D. P(,)
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【题目】综合与探究
如图,抛物线y=﹣x2+2x+6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其对称轴与抛物线交于点D.与x轴交于点E.
(1)求点A,B,D的坐标;
(2)点G为抛物线对称轴上的一个动点,从点D出发,沿直线DE以每秒2个单位长度的速度运动,过点C作x轴的平行线交抛物线于M,N两点(点M在点N的左边).
设点G的运动时间为ts.
①当t为何值时,以点M,N,B,E为顶点的四边形是平行四边形;
②连接BM,在点G运动的过程中,是否存在点M.使得∠MBD=∠EDB,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点Q为坐标平面内一点,以线段MN为对角线作萎形MENQ,当菱形MENQ为正方形时,请直接写出t的值.
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【题目】(10分)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)问题发现
① 当时,;② 当时,
(2)拓展探究
试判断:当0°≤α<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情况给出证明.
(3)问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时,直接写出线段BD的长.
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【题目】为了解某次“小学生书法比赛”的成绩情况,随机抽取了30名学生的成绩进行统计,并将统计情况绘成如图所示的频数分布直方图,己知成绩x(单位:分)均满足“50≤x<100”,每组成绩包含最小值,不包含最大值.根据图中信息回答下列问题:
(1)图中a的值为_____;若要绘制该样本的扇形统计图,则成绩x在“70≤x<80”所对应扇形的圆心角度数为__________;
(2)此次比赛共有300名学生参加,若将“x≥80”的成绩记为“优秀”,则获得“优秀“的学生大约有多少人?
(3)在这些抽查的样本中,小明的成绩为92分,若从成绩在“50≤x<60”和“90≤x<100”的学生中任选2人,请用列表或画树状图的方法,求小明被选中的概率.
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【题目】某商场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了2000元,乙种商品共用了2400元已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元,且购进的甲、乙两种商品件数相同.
求甲、乙两种商品的每件进价;
该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售,甲种商品的销售单价为60元,乙种商品的销售单价为88元,销售过程中发现甲种商品销量不好,商场决定:甲种商品销售一定数量后,将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售;乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元,问甲种商品按原销售单价至少销售多少件?
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【题目】对于二次函数y=ax2-(2a-1)x+a-1(a≠0),有下列结论:①其图象与x轴一定相交;②若a<0,函数在x>1时,y随x的增大而减小;③无论a取何值,抛物线的顶点始终在同一条直线上;④无论a取何值,函数图象都经过同一个点.其中正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程.为了解全校学生对每类课程的选择情况,随机抽取了若干名学生进行调查(每人必选且只能选一类),先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图:
(1)本次随机调查了多少名学生?
(2)补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分;
(3)若该校共有名学生,请估计全校学生选择“戏曲”类的人数;
(4)学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”,用树形图或列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率.(书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕表示)
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【题目】如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c.若|a﹣b|=3,|b﹣c|=5,且原点O与A、B的距离分别为4、1,则关于O的位置,下列叙述何者正确?( )
A. 在A的左边 B. 介于A、B之间 C. 介于B、C之间 D. 在C的右边
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