Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，连接AD、AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD＝CD′．

（1）求证：△ABD≌△ACD′；

（2）如图2，若∠BAC＝120°，探索BD，DE，CE之间满足怎样的数量关系时，△CD′E是正三角形；

（3）如图3，若∠BAC＝90°，求证：DE2＝BD2+EC2．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BD＝DE＝CE的数量关系时，△CD′E是正三角形；（3）见解析．

【解析】

（1）根据轴对称的性质得到AD=AD`，即可证明△ABD≌△ACD′

（2）由（1）可得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，再根据轴对称的性质得到∠EAD′+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝∠DAE＝∠BAC＝60°，得到△CD′E是正三角形，即可解答

（3）利用勾股定理即可解答

（1）证明：∵△ADE与△AD′E是关于AE的轴对称图形，

∴AD＝AD′，

在△ABD和△ACD′中， ，

∴△ABD≌△ACD′（SSS）；

（2）解：∵△ABD≌△ACD′，

∴∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，

∵△ADE与△AD′E是关于AE的轴对称图形，

∴∠DAE＝∠EAD′，DE＝ED′，

∴∠EAD′+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝∠DAE＝∠BAC＝60°，

∵△CD′E是正三角形，

∴CE＝CD′＝ED′，

∵BD＝CD′，DE＝ED′，

∴BD＝DE＝CE；

（3）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝∠ACD′＝45°，

∴∠ECD′＝90°，

∴ED′2＝CD′2+EC2，

∵BD＝CD′，DE＝ED′，

∴DE2＝BD2+EC2．