Question

【题目】如图 1，已知抛物线 y ax bx c 经过 A3,0,B 1,0 ，C 0,3 三点，其顶点为D，对称轴是直线l ， l 与 x 轴交于点 H .

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点 P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求PBC 周长的最小值；

（3）如图 2，若 E 是线段 AD 上的一个动点（ E 与 A, D 不重合），过 E 点作平行于 y 轴的直线交抛物线于点 F ，交 x 轴于点G ，设点 E 的横坐标为m ，四边形 AODF 的面积为 S 。

①求 S 与 m 的函数关系式；

② S 是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点 E 的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）；（3）①S=-m2-4m+3（-3＜m＜-1）；②存在，点E为：（-2，2）.

【解析】

（1）设交点式y=a（x+3）（x-1），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；

（2）利用配方法得到y=-（x+1）2+4，从而得到D（-1，4），抛物线的对称轴为直线x=-1，连接AC交直线x=-1于P，如图1，利用两点之间线段最短得到此时PB+PC的值最小，△PBC周长的最小值，然后利用勾股定理计算出AC和BC即可得到△PBC周长的最小值；

（3）①如图2，先利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=2x+6，设E（m，2m+6）（-3＜m＜-1），则F（m，-m2-2m+3），则可表示出EF=-m2-4m-3，根据三角形面积公式，利用S=S△ADF+S△ADO得到S=-m2-4m-3+6；

②先利用配方法得到S=-（m+2）2+7，然后根据二次函数的性质解决问题．

解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），

把C（0，3）代入得a×3×（-1）=3，解得a=-1，

∴抛物线解析式为y=-（x+3）（x-1），

即y=-x2-2x+3；

（2）∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，

∴D（-1，4），抛物线的对称轴为直线x=-1，

连接AC交直线x=-1于P，如图1，则PA=PB，

∵PB+PC=PC+PA=AC，

∴此时PB+PC的值最小，

∴此时△PBC周长的最小值，

△PBC周长的最小值=AC+BC=；

（3）①如图2，

设直线AD的解析式为y=kx+b，

把A（-3，0），D（-1，4）代入得，解得，

∴直线AD的解析式为y=2x+6，

设E（m，2m+6）（-3＜m＜-1），则F（m，-m2-2m+3），

∴EF=-m2-2m+3-（2m+6）=-m2-4m-3，

∴S=S△ADF+S△ADO=×EF×2+×3×4=EF+6=-m2-4m-3+6=-m2-4m+3（-3＜m＜-1）；

②存在．

∵S=-（m+2）2+7，

∴当m=-2时，S有最大值，最大值为7，此时E点坐标为（-2，2）．