Question

【题目】知识链接：将两个含角的全等三角尺放在一起， 让两个角合在一起成，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”．如图，等边三角形的边长为，点从点出发沿向运动，点从出发沿的延长线向右运动，已知点都以每秒的速度同时开始运动，运动过程中与相交于点，设运动时间为秒．

请直接写出长． (用的代数式表示)

当为直角三角形时，运动时间为几秒? ．

求证：在运动过程中，点始终为线段的中点．

Answer 1

【答案】（1）AD=4-0.5x；（2）秒；（3）见解析

【解析】

（1）根据题意得到CD=0.5x，结合图形求出AD；
（2）设x秒时，△ADE为直角三角形，则BE=0.5x，AD=4-0.5x，AE=4+0.5x，根据30°的直角边等于斜边的一般建立方程求出其解即可；
（3）作DG∥AB交BC于点G，证明△DGP≌△EBP，得出PD=PE即可．

解：（1）由题意得，CD=0.5x，
则AD=4-0.5x；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=4cm，∠A=∠ABC=∠C=60°．
设x秒时，△ADE为直角三角形，
∴∠ADE=90°，BE=0.5x，AD=4-0.5x，AE=4+0.5x，
∴∠AED=30°，
∴AE=2AD，
∴4+0.5x=2（4-0.5x），
∴x=；
答：运动秒后，△ADE为直角三角形；
（3）如图2，作DG∥AB交BC于点G，

∴∠GDP=∠BEP，∠DGP=∠EBP，∠CDG=∠A=60°，∠CGD=∠ABC=60°，
∴∠C=∠CDG=∠CGD，
∴△CDG是等边三角形，
∴DG=DC，
∵DC=BE，
∴DG=BE．
在△DGP和△EBP中，

，
∴△DGP≌△EBP（ASA），
∴DP=PE，
∴在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．