Question

如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：
①∠AEF=∠BCE；
②AF+BC＞CF；
③S_△CEF=S_△EAF+S_△CBE；
④若=，则△CEF≌△CDF．
其中正确的结论是　   　．（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

①③④

试题分析：∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠AEF=∠BCE，故①正确；
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BCE，
∴，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴，
又∵∠A=∠CEF=90°，
∴△AEF∽△ECF，
∴∠AFE=∠EFC，
过点E作EH⊥FC于H，

则AE=DH，
在Rt△AEF和Rt△HEF中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△HEF（HL），
∴AF=FH，
同理可得△BCE≌△HCE，
∴BC=CH，
∴AF+BC=CF，故②错误；
∵△AEF≌△HEF，△BCE≌△HCE，
∴S_△CEF=S_△EAF+S_△CBE，故③正确；
若，则tan∠BCE=，
∴∠BEC=60°，
∴∠BCE=30°
∴∠DCF=∠ECF=30°，
又∵∠D=∠CEF, CF=CF
∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正确，
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．