Question

11．如图，在边长为1的网格中建立平面直角坐标系xOy，O、A、B三点均为格点．
（1）作△OAB′关于x轴对称，再将△OAB′绕点O逆时针方向旋转90°得到△OA′B′，请你分别画出△OAB′，并直接写出B′和B″的坐标；
（2）判断AB″与A′B的大小关系，并证明你的结论；
（3）求在（1）的旋转过程中，点B′所经过的路径$\widehat{B′B″}$的长度即△OBB″的面积．

Answer 1

分析 （1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出B′的坐标，再描点即可得到，△OAB′；利用网格特点和旋转的性质化出点A和B′的对应点A′、B″，则可得到△OA′B″；
（2）先利用对称的性质得OB′=OB，∠B′OA=∠BOA，再利用旋转的性质得OB″=OB′，OA′=OA，∠B″OB=90°，则OB=OB″，∠A′OB=∠B″OA，于是可判断△B″OA≌△BOA′，所以AB″=A′B；
（3）利用弧长公式计算$\widehat{B′B″}$的长度；根据三角形面积公式和利用△OBB″的面积=S_△B″OB′+S_△OB′B-S_△B″B′B可计算出△OBB″的面积．

解答 解：（1）如图1，△OAB′和△OA′B″为所作；

点B′的坐标为（4，2）和B″的坐标为（-2，4）；

（2）AB″=A′B．理由如下：如图2，

∵△OAB′与△OAB关于x轴对称，
∴OB′=OB，∠B′OA=∠BOA，
∵△OAB′绕点O逆时针方向旋转90°得到△OA′B″，
∴OB″=OB′，OA′=OA，∠B″OB=90°，
∴OB=OB″，∠A′OB=∠B″OA，
在△B″OA和△BOA′中
$\left\{\begin{array}{l}{OB″=OB}\\{∠B″OA=∠BOA′}\\{OA=OA′}\end{array}\right.$
∴△B″OA≌△BOA′，
∴AB″=A′B；

（3）如图3，
点B′所经过的路径$\widehat{B′B″}$的长度=$\frac{90•π•2\sqrt{5}}{180}$=$\sqrt{5}$π；
△OBB″的面积=S_△B″OB′+S_△OB′B-S_△B″B′B
=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$+$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×6×4
=6．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．