Question

已知一元二次方程

1

2

x²+kx+k-

1

2

=0，
（1）求证：不论k为何实数，此方程总有两个实数根；
（2）设k＜0，当二次函数y=

1

2

x²+kx+k-

1

2

的图象与x轴的两个交点A，B间距离为4时，求出此二次函数的表达式．

Answer 1

考点：根的判别式,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式△=b²-4ac的符号来判定已知方程的根的情况；
（2）利用根与系数的关系（|x_A-x_B|=

(xA+xB)2-4xAxB

=4）列出关于k的方程，通过解方程来求k的值．

解答：（1）证明：∵△=k²-4×

1

2

×（k-

1

2

）=k²-2k+1=（k-1）²≥0，
∴关于x的一元二次方程

1

2

x²+kx+k-

1

2

=0，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；

（2）令y=0，则

1

2

x²+kx+k-

1

2

=0．
∵x_A+x_B=-2k，x_A•x_B=2k-1，
∴|x_A-x_B|=

(xA+xB)2-4xAxB

=

4k2-8k+4

=2|k-1|=4，即|k-1|=2，
解得：k=3（不合题意，舍去），或k=-1．
∴此二次函数的解析式是y=

1

2

x²-x-

3

2

．

点评：此题综合考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，以及两点之间的距离公式．