Question

如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发沿AB方向以4cm/s的速度向B点运动，同时点Q从C点出发沿CA方向以3cm/s的速度向A点运动，设运动时间为x s．
（1）当x=

10

3

时，求

S△APQ

S△ABC

；
（2）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：动点型

分析：（1）当x=

10

3

时时，可求出AP，PQ，AB，AC的比例关系式，可得PQ∥BC，即可求出

S△APQ

S△ABC

．
（2）本题要分两种情况进行讨论．已知∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．

解答：解：（1）由题意得，AP=4x，AQ=30-3x
当x=

10

3

时

4x

20

=

30-3x

30

，即AP：AB=AQ：AC，
∴PQ∥BC，
∴

S△APQ

S△ABC

=

4

9

；
（2）假设两三角形可以相似．
情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，
即有

3x

4x

=

20

30-3x

，解得x=

10

9

，
经检验，x=

10

9

是原分式方程的解．
此时AP=

40

9

cm，
情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，
即有

3x

30-3x

=

20

4x

，解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解．
此时AP=20cm．
综上所述，AP=

40

9

cm或AP=20cm．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．