Question

11．为了给草坪喷水，安装了自动旋转喷水器，如图所示．设直线AD所在位置为地平面，喷水管AB高出地平面1.5m，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B与水流最高点C的连线与地平面成45°的角，水流的最高点C离地平面3.5m，水流的落地点为D．在建立如图所示的直角坐标系中：
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求水流的落地点D到A点的距离．

Answer 1

分析 （1）把抛物线的问题放到直角坐标系中解决，是探究实际问题常用的方法，本题关键是解等腰直角三角形，求出抛物线顶点C（2，3.5）及B（0，1.5），设顶点式求解析式；
（2）求AD，实际上是求当y=0时点D横坐标．

解答 解：在如图所建立的直角坐标系中，
由题意知，B点的坐标为（0，1.5），∠CBE=45°，
∴△BEC为等腰直角三角形，
∴BE=2，
∴C点坐标为（2，3.5），
（1）设抛物线的函数解析式为
y=ax²+bx+c（a≠0），
则抛物线过点（0，1.5）顶点为（2，3.5），
∴当x=0时，y=c=1.5
由-$\frac{b}{2a}$，得b=-4a，
由$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，得$\frac{6a-16{a}^{2}}{4a}$，
解之，得a=0（舍去），a=-$\frac{1}{2}$，
∴b=-4a=2．
所以抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{3}{2}$；

（2）∵D点为抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{3}{2}$的图象与x轴的交点，
∴当y=0时，即：-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{3}{2}$=0，
解得x=2±$\sqrt{7}$，
x=2-$\sqrt{7}$不合题意，舍去，取x=2+$\sqrt{7}$．
∴D点坐标为（2+$\sqrt{7}$，0），
∴AD=（2+$\sqrt{7}$）（m）．
答：水流的落地点D到A点的距离是（2+$\sqrt{7}$）m．

点评 本题考查的是二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．