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【题目】如图,已知二次函数y=x2+x1的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接AC,点P是抛物线上的一个动点,记△APC的面积为S,当S=2时,相应的点P的个数是______.

【答案】2

【解析】

先确定A点坐标为(-3,0),B点坐标为(1,0),C点坐标为(0,-1),讨论:由于SABC=×4×1=2,所以在x上方,抛物线上一定有两点满足APC的面积为2;当点Px轴下方,设P点坐标为(x,y),作PDx轴于D,利用SAPC=S梯形APDO-SPDC-SAOC得到3y+x+7=0,而y=x2+x1,所以x2+3x+4=0,此方程无实数根,可判断在x下方,不存在抛物线上一点P满足APC的面积为2.

∵令x=0,y=-1;令y=0,x2+x1=0,解得x1=-3,x2=1,

A点坐标为(-3,0),B点坐标为(1,0),C点坐标为(0,-1),

连结OB,

SABC=×4×1=2,

∴在x上方,抛物线上一定有两点满足APC的面积为2;

当点Px轴下方,设P点坐标为(x,y),(y<-1),如图,作PDx轴于D,

SAPC=S梯形APDO-SPDC-SAOC

(3-x)(-y)-(-1-y)(-x)-×3×1=2,

3y+x+7=0,

y=x2+x1,

x2+3x+4=0,

∵△=9-4×4<0,

∴此方程无实数根,

即在x下方,不存在抛物线上一点P满足APC的面积为2.

故答案为2.

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