【题目】如图,在平面直角坐标系中,边长为的正方形ABCD的顶点A,B在x轴上,连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上,BF与AD交于点E,连接OE,若点M是直线BF上的一动点,且△BMD与△OED相似,则点M的坐标_____.
【答案】(1,﹣1)或(﹣,)
【解析】
如图,连接AC交BF于M1,延长CD、BF交于点M2,直线BM2与y轴交于点N,连接DM1,OM1.首先证明点M1,M2是满足条件的点.然后求出它们的坐标即可.
解:如图,连接AC交BF于M1,延长CD、BF交于点M2,直线BM2与y轴交于点N,连接DM1,OM1.
∵∠DBF=∠FBO=∠EDO=∠EOD=22.5°,
∴△BDM1∽△ODE,△BDM2∽△DEO,
∵B(2,0),M2(,),
∴直线BM2的解析式为y=(+1)x+22.
∴点N(0,22),
∵M1D=M1B=M1O,
∴∠M1OB=∠M1BO,
∵∠M1OB+∠NOM1=90°,∠ONB+∠OBN=90°,
∴∠ONB=∠NOM1,
∴OM1=NM1=M1B,
∴M1(1,1),
∴满足条件的点M的坐标为(1,1)或(,).
故答案为(1,1)或(,).
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【题目】如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速公路l1成30°角,长为20km;BC段与AB、CD段都垂直,长为10km,CD段长为30km,求两高速公路间的距离(结果保留根号).
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【题目】如图,点A1,A2,A3…,An在x轴正半轴上,点C1,C2,C3,…,在y轴正半轴上,点B1,B2,B3,…,Bn在第一象限角平分线OM上,OB1=B1B2=B1B3=…=Bn﹣1Bn=a,A1B1⊥B1C1,A2B2⊥B2C2,A3B3⊥B3C3,…,,…,则第n个四边形的面积是____.
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【题目】
(1)(操作发现)
如图①,将△ABC绕点A顺时针旋转60°,得到△ADE,连接BD,则∠ABD=____度;
(2)(类比探究)
如图②,在等边三角形ABC内任取一点P,连接PA,PB,PC,求证:以PA,PB,PC的长为三边必能组成三角形:
(3)(解决问题)
如图③,在边长为的等边三角形ABC内有一点P,∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面积;
(4)(拓展应用)
图④是A,B,C三个村子位置的平面图,经测量AC=4,BC=5,∠ACB=30°,P为△ABC内的一个动点,连接PA,PB,PC,求PA+PB+PC的最小值.
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【题目】二次函数的图象如图,根据图象回答下列问题:
(1)写出方程的两个根;
(2)写出不等式的解集;
(3)写出不等式的解集;
(4)如果方程无实数根,求的取值范围.
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【题目】(9分)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:
售价(元/件) | 100 | 110 | 120 | 130 | … |
月销量(件) | 200 | 180 | 160 | 140 | … |
已知该运动服的进价为每件60元,设售价为元.
(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润是 元;②月销量是 件;(直接写出结果)
(2)设销售该运动服的月利润为元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?
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【题目】如图,在中,,点D在BC上,,过点D作,垂足为E,经过A,B,D三点.
求证:AB是的直径;
判断DE与的位置关系,并加以证明;
若的半径为10m,,求DE的长.
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【题目】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步而见木?”
用今天的话说,大意是:如图,是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门位于的中点,南门位于的中点,出东门15步的处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于处的树木(即点在直线上)?请你计算的长为__________步.
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