Question

直线y=kx+4与y轴交于点A，与双曲线y=

5

x

相交于点B、C，且

AB

AC

=5．
（1）如果k＜0，设点C的坐标为（a，

5

a

），则点B的坐标是

 

（用a表示）；
（2）如果k＞0，设点C的坐标为（b，

5

b

），则点B的坐标是

 

（用b表示）；
（3）求k的值．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）根据图象，先求出A的坐标，设B（x₁，y₁），再利用

AB

AC

=5，求出B的坐标，
（2）根据图形，先求出A的坐标，设B（x₁，y₁），再利用

AB

AC

=5，求出B的坐标，
（3）由直线y=kx+4与y轴相交于点A，求出A（0，4），把y=kx+4代入y=

5

x

得kx²+4x-5=0，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由

AB

AC

=5得x₁=5x₂，由5•x22=

20

9k2

=-

5

k

，求得k=-

4

9

．用判定，满足题设．即可得到k=-

4

9

．

解答：解：（1）如图1，

∵直线y=kx+4与y轴相交于点A，
∴A（0，4），
∵k＜0，点C的坐标为（a，

5

a

），设B（x₁，y₁），
∵

AB

AC

=5得x₁=5a，y₁=

1

a

，
∴B的坐标是（5a，

1

a

），
故答案为：（5a，

1

a

）．
（2）如图2，

∵直线y=kx+4与y轴相交于点A，
∴A（0，4），
∵k＞0，点C的坐标为（b，

5

b

），设B（x₁，y₁），
∵

AB

AC

=5，得

AC

BC

=

1

6

，
∴

b

b-x1

=

1

6

，x₁=-5b，
y₁=

5

x1

=-

1

b

，
∴B的坐标是（-5b，-

1

b

），
故答案为：（-5b，-

1

b

）．
（3）∵直线y=kx+4与y轴相交于点A，
∴A（0，4），
把y=kx+4代入y=

5

x

得kx²+4x-5=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

4

k

，x₁x₂=-

5

k

，
由

AB

AC

=5得x₁=5x₂，
∴6x₂=-

4

k

，x₂=-

2

3k

，
∴5•x22=

20

9k2

=-

5

k

，k=-

4

9

．
kx²+4x-5=0的△=16-4×（-

4

9

）•（-5）=16×（1-

5

9

）＞0，满足题设．
∴k=-

4

9

．

点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是画出图形，利用

AB

AC

=5列式计算．