Question

如图，长方形ABCD中，AB=10，BC=5，在CD上是否存在点P，使∠APB=90°？试说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,根的判别式,圆周角定理

专题：

分析：如图，证明∠DAP=∠BPC，结合∠D=∠C，得到△ADP∽△PCB；列出比例式

DP

BC

=

AD

PC

，求出DP即可解决问题．

解答：解：存在点P，使∠APB=90°；理由如下：
如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠C=90°，AD=BC=5，DC=AB=10；
设DP=λ，则PC=10-λ；
∵∠APB=90°，
∴∠APD+∠DAP=∠APD+∠BPC，
∴∠DAP=∠BPC，而∠D=∠C，
∴△ADP∽△PCB，
∴

DP

BC

=

AD

PC

，即

λ

5

=

5

10-λ

，
解得：λ=5，
即当DP=5时，∠APB=90°．

点评：该题是一道条件探究型命题；以考查相似三角形的判定及其性质等几何知识点为核心构造而成；解题的关键是牢固掌握相似三角形的判定及其性质．