Question

如图，在矩形ABCD中，P是AD上一动点，过点A作BP的垂线，垂足为F，交BD于点E，交CD于点G．
（1）当AB=AD，P是AD的中点时，求

DE

BE

的值；
（2）若AB=mAD，AD=nAP，试用含m，n代数式表示

DE

BE

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）如图，证明△ABP∽△DAG，得到

AB

AD

=

AP

DG

；证明DG=

1

2

AB；证明△DEG∽△BEA，列出比例式

DE

BE

=

DG

AB

=

1

2

．即可解决问题．
（2）类比（1）中的解法，首先证明DG=

AD

mn

；然后证明

DE

BE

=

DG

AB

=

AD mn

mAD

=

1

m2n

，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAP=∠ADG=90°；
∵AG⊥BP，
∴∠BPA+∠APB=∠FAP+∠APB，
∴∠BPA=∠FAP，
∴△ABP∽△DAG，
∴

AB

AD

=

AP

DG

∵AB=AD，AP=

1

2

AD，
∴∴△ABP∽△DAG，
∴

AB

AD

=

AP

DG

∵DG=

1

2

AB；DG∥AB，
∴△DEG∽△BEA，
∴

DE

BE

=

DG

AB

=

1

2

．
（2）类比（1）中的方法，同理可证：
△ABP∽△DAG，
∴

AB

AD

=

AP

DG

，
∵AB=mAD，AD=nAP，
∴DG=

AD

mn

；
类比（1）中的方法，同理可证：△DEG∽△BEA，
∴

DE

BE

=

DG

AB

=

AD mn

mAD

=

1

m2n

，
即

DE

BE

=

1

m2n

．

点评：该题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是数形结合，准确找出图形中隐含的相等或相似关系，灵活运用矩形的性质、相似三角形的判定及其性质来分析、解答．