Question

如图，四边形ABCD中，∠C=75°，∠D=120°，cosB=

3

5

，CD=2

3

-2，AD=4，求AB的长．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：作AE⊥BC于E，作AF⊥CD于F，连结CA，如图，先在Rt△ADE中根据含30度的直角三角形三边的关系计算出DF、AF，于是可判断△FAC为等腰直角三角形，所以∠ACF=45°，AC=

2

AF=2

6

，这样可得∠ACE=30°，接着在Rt△ACE中，计算出AE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理和锐角三角函数求AB的长．

解答：解：作AE⊥BC于E，作AF⊥CD于F，连结CA，如图，
∵∠D=120°，
∴∠ADE=60°，
在Rt△ADE中，∵∠DAE=30°，
∴DF=

1

2

AD=2，
AF=

3

FD=2

3

，
∴FC=DF+DC=2+2

3

-2=2

3

，
∴FA=FC，
∴△FAC为等腰直角三角形，
∴∠ACF=45°，AC=

2

AF=2

6

，
∵∠C=75°，
∴∠ACE=30°，
在Rt△ACE中，AE=

1

2

AC=

6

，
在Rt△ABE中，cosB=

BE

AB

=

3

5

，
设BE=3x，AB=5x，
∴AE=

AB2-BE2

=4x，
∴4x=

6

，解得x=

6

4

，
∴AB=5x=

5 6

4

．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．合理作辅助线是解决此题的关键．