Question

已知B（3，0）在抛物线y=-x²+2x+3上，以OB为直径作⊙E，则在y轴左侧的抛物线上是否存在点P，过点P作x轴的平行线于与E交于M、N两点，与抛物线交于另一点Q，使得PM+QN=MN？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：设点P坐标为（a，-a²+2a+3），则点Q坐标为（2-a，-a²+2a+3），点F坐标为（1.5，-a²+2a+3），在Rt△EFM中，根据勾股定理可得EM²=MF²+EF²，从而得到关于a的方程，解方程即可得到a的值，进一步得到点P坐标．

解答：解：如图，
设点P坐标为（a，-a²+2a+3），则点Q坐标为（2-a，-a²+2a+3），点F坐标为（1.5，-a²+2a+3），
则PQ=2-2a，
∵PM+QN=MN，
∴MN=1-a，
∴MF=

1

2

-

1

2

a，
在Rt△EFM中，EM²=MF²+EF²，
即1.5²=（

1

2

-

1

2

a）²+（-a²+2a+3）²，
可得（4a²-8a-7）（a²-2a-4）=0，
解得a₁=

11

2

+1（不合题意舍去），a_，2=-

11

2

+1，a₃=

5

+1（不合题意舍去），a_，2=-

5

+1，
当a₂=-

11

2

+1时，有4a²-8a-7=0，则a²-2a=

7

4

，则-a²+2a+3=

5

4

；
当a₄=-

5

+1时，有a²-2a-4=0，则a²-2a=4，则-a²+2a+3=-1．
综上所述，点P坐标为（-

11

2

+1，

5

4

）或（-

5

+1，-1）．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：垂径定理，两点之间的距离公式，勾股定理，方程思想，整体思想的应用，综合性较强，有一定的难度．