【题目】(1)如图1,点在
上,请在图中用直尺(不含刻度)和圆规作等边三角形
,使得点
、
都在
上.
(2)已知矩形中,
,
.
①如图2,当时,请在图中用直尺(不含刻度)和圆规作等边三角形
,使得点
在边
上,点
在边
上;
②若在该矩形中总能作出符合①中要求的等边三角形,请直接写出
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)①见解析;②的取值范围是
.
【解析】
解:(1) 作直径,以
为圆心,
为半径作弧,交
于点
、
,连
、
、
即可得到等边三角形
.
(2) ①连,在
上任取一点
,以
为半径作
,交
于点
,以
为圆心,
为半径作弧,交
于点
、
,连
、
并延长,交
、
于点
、
,连
,则
就是所要求作的.
②分两种情况讨论,运用等边三角形的性质和勾股定理得到m的最大值和最小值即可;
解:(1)如图1,作直径,以
为圆心,
为半径作弧,交
于点
、
,连
、
、
,则
就是所要求作的.
(2)①如图2,连,在
上任取一点
,以
为半径作
,交
于点
,以
为圆心,
为半径作弧,交
于点
、
,连
、
并延长,交
、
于点
、
,连
,则
就是所要求作的.
②一开始E点从B点出发,往C的方向运动,AF可以看成AE逆时针旋转60度得到,因此F是往上运动的,但是AE一直在变长,如果BC的长度不变的话,AF就是变少。(但是要保持AE=AF)只能变长BC了。所以E点从B点出发,往C的方向运动过程中,BC一直在变长。F最多只能到D点,因此F在D点处,BC就是最长了,因此得到如下的两个临界值:
如图,当E点与B点重合时,此时是临界点的最小值,
∵△AFE是等边三角形,
∴EF=AB=4,∠AEF=60°,
∴∠FEC=30°,
∴FC=2(直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半),
∴此时,
当F点与D点重合时,此时是临界点的最大值,
∵△AFE是等边三角形,
∴AD=AE,∠BAE=90°-60°=30°,
假设AD=AE=2x,
∴FC=x(直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半),
∴此时,
解得,
∴,
∴的取值范围是
.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=6,CD=8,E,F分别是边ABCD的中点, DH⊥BC于点H,连接EH,EC,EF,现有下列结论:①∠CDH=30°;②EF=4;③四边形EFCH是菱形;④S△EFC=3S△BEH.你认为结论正确的有___________.(填序号)
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,过A作AP∥BC交CO的延长线于点P.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若BC=8,tanB=2,求PA的长.
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【题目】(抗击疫情)为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头,各地教育部门在推迟各级学校开学时间的同时提出“听课不停学”的要求,各地学校也都开展了远程网络教学,某校集中为学生提供四类在线学习方式:在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论,为了了解学生的需求,该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查,并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图。
(1)本次调查的人数有多少人?
(2)请补全条形图;
(3)请求出“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数;
(4)小宁和小娟都参加了远程网络教学活动,请求出小宁和小娟选择同一种学习方式的概率.
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【题目】如图,已知△ABC中,AC=2,AB=3,BC=4,点G是△ABC的重心.将△ABC平移,使得顶点A与点G重合.那么平移后的三角形与原三角形重叠部分的周长为( )
A.2B.3C.4D.4.5
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【题目】一组正方形按如图所示的方式放置,其中顶点B1在y轴上,顶点C1,E1,E2,C2,E3,E4,C3……在x轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3……,则正方形A2020B2020C2020D2020的边长是( )
A.()2017B.(
)2018C.(
)2019D.(
)2020
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【题目】规定:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根是另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论: ①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程;
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程,则a=±3;
③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0(a≠0)是倍根方程,则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是(2,0)和(4,0);
④若点(m,n)在反比例函数y=的图象上,则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程.
上述结论中正确的有( )
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④
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