Question

【题目】（1）如图1，点在上，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形，使得点、都在上．

（2）已知矩形中，，．

①如图2，当时，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形，使得点在边上，点在边上；

②若在该矩形中总能作出符合①中要求的等边三角形，请直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②的取值范围是．

【解析】

解：(1) 作直径，以为圆心，为半径作弧，交于点、，连、、即可得到等边三角形．

(2) ①连，在上任取一点，以为半径作，交于点，以为圆心，为半径作弧，交于点、，连、并延长，交、于点、，连，则就是所要求作的．

②分两种情况讨论，运用等边三角形的性质和勾股定理得到m的最大值和最小值即可；

解：（1）如图1，作直径，以为圆心，为半径作弧，交于点、，连、、，则就是所要求作的．

（2）①如图2，连，在上任取一点，以为半径作，交于点，以为圆心，为半径作弧，交于点、，连、并延长，交、于点、，连，则就是所要求作的．

②一开始E点从B点出发，往C的方向运动，AF可以看成AE逆时针旋转60度得到，因此F是往上运动的，但是AE一直在变长，如果BC的长度不变的话，AF就是变少。（但是要保持AE=AF）只能变长BC了。所以E点从B点出发，往C的方向运动过程中，BC一直在变长。F最多只能到D点，因此F在D点处，BC就是最长了，因此得到如下的两个临界值：

如图，当E点与B点重合时，此时是临界点的最小值，

∵△AFE是等边三角形，

∴EF=AB=4，∠AEF=60°，

∴∠FEC=30°，

∴FC=2（直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半），

∴此时，

当F点与D点重合时，此时是临界点的最大值，

∵△AFE是等边三角形，

∴AD=AE，∠BAE=90°-60°=30°，

假设AD=AE=2x，

∴FC=x（直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半），

∴此时，

解得，

∴，

∴的取值范围是．