Question

【题目】我们知道：在小学已经学过“正方形的四条边都相等，正方形的四个内角都是直角”，试利用上述知识，并结合已学过的知识解答下列问题：

如图1，在正方形ABCD中，G是射线DB上的一个动点（点G不与点D重合），以CG为边向下作正方形CGEF.

（1）当点G在线段BD上时，求证：；

（2）连接BF，试探索：BF，BG与AB的数量关系，并说明理由；

（3）若AB=a（a是常数），如图2，过点F作FT∥BC，交射线DB于点T，问在点G的运动过程中，GT的长度是否会随着G点的移动而变化？若不变，请求出GT的长度；若变化，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BG+BF=；（3）不变，

【解析】

（1）根据正方形的性质得到∠DCB=∠GCF=90°，然后根据等式的性质证明；（2）利用SAS证明△DCG≌△BCF，从而DG=BF,BG+BF=BD，然后根据正方形的性质求BD与AB的关系，从而求解；（3）利用平行线及全等三角形的性质分析△BFT是等腰直角三角形，从而使问题求解.

解：（1）由题意可知，在正方形ABCD和正方形CGEF中

∠DCB=∠GCF=90°

∴∠DCB-∠GCB=∠GCF-∠GCB

∴

（2）在正方形ABCD和正方形CGEF中，DC=BC，GC=FC

又∵

∴△DCG≌△BCF

∴DG=BF

BG+BF=BD

又因为正方形ABCD中，BD=

∴BG+BF=

（3）如图：

不变，理由如下：

∵FT∥BC∥AD

在△BFT中，∠BTF=∠ADB=45°

∠FBT=180°-∠DBC-∠CBF

∵△DCG≌△BCF

∴∠CBF=∠CDG=45°

∴∠FBT=90°

∴△BFT是等腰直角三角形

∴BT=BF

∴GT=GB+BT=BG+BF=GB+DG=BD=