Question

【题目】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOC=100°,∠AOB=α，以OB为边作等边△BOD，连接CD.

(1)求证:△ABO≌△CBD；

(2)当α=150°时，试判断△COD的形状，并说明理由；

(3)探究：当α为多少度时△COD是等腰三角形?

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）直角三角形，理由详见解析；（3）当α为100°、130°、160°时，△COD是等腰三角形．

【解析】

(1)由于 △ABC和△OBD都是等边三角形,可得BA=BC，BO=BD，由角推出∠ABO=∠CBD,即可证明△ABO≌△CBD.

(2)由△ABO≌△CBD,可得∠BDC=150°,由于∠BDO=60°,即可推出∠CDO的度数为90°,即可证明为直角三角形.

(3)分三类讨论:①要使CO=CD, ②要使OC=OD,③要使OD=CD.

（1）解：（1）∵△ABC和△OBD都是等边三角形，

∴BA=BC，BO=BD，

∵∠ABC=∠OBD=60°

∴∠ABO=∠CBD，

∴△ABO≌△CBD（SAS）．

（2）直角三角形；

理由：∵△ABO≌△CBD

∴∠BDC=∠AOB=150°

又∵∠ODB=∠OBD=60°

∴∠CDO=150°-60°=90°

∴△COD是直角三角形．

（3）①要使CO=CD，需∠COD=∠CDO，

∴200°-α = α-60°，

∴α=130°；

②要使OC=OD，需∠OCD=∠CDO，

∴2（α-60°）=180°-（200°-α），

∴α=100°；

③要使OD=CD，需∠OCD=∠COD，

∴2（200°-α）=180°-（α -60°），

∴α=160°．

所以当α为100°、130°、160°时，△COD是等腰三角形．