Question

如图，已知在⊙O中，点C为弧AB的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE．若AE=13，AC=5，则AB=

 

．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,三角形中位线定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：

分析：首先证明△ABD是直角三角形，△BCD是等腰三角形，然后根据圆内接四边形的性质，以及等角对等边证明△AED是等腰三角形，设BD=x，则利用勾股定理即可列方程求得BD的长，在直角△ABD中利用勾股定理求得AB的长．

解答：解：∵点C为弧AB的中点，即

AC

=

BC

，
∴AC=BC，
又∵CD=CA，
∴∠ABD=90°，则∠ABE=90°，AC=CD=BC=5，AD=10．
∵圆内接四边形ACBE中，∠CBD=∠EAD，
又∵BC=CD，
∴∠CBD=∠D，
∴∠EAD=∠D，
∴ED=AE=13．
设BD=x，则BE=13-x，
∵在直角△ABE中，AB²=AE²-BD²=13²-（13-x）²，
在直角△ABD中，AB²=AD²-BD²，即AB²=10²-x²，
∴13²-（13-x）²=10²-x²，
解得：x=

50

13

，
则AB=

102-( 50 13 )2

=

120

13

．
故答案是：

120

13

．

点评：本题考查了圆内接四边形的性质定理，等腰三角形的判定定理以及勾股定理，正确证明△AED是等腰三角形是关键．