Question

【题目】如图，是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，n），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+d（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：

①3a+b=0，②方程ax2+bx+c+1=n有两个相等的实数根，③b2=4a（c﹣n），④当1＜x＜4时，有y2＞y1，⑤ax2+bx≤a+b，其中正确的结论是____（只填写序号）．

Answer 1

【答案】③⑤．

【解析】

利用抛物线的对称轴，可对①进行判断；结合图象可知抛物线与直线有两个公共点，可对②进行判断；由抛物线与直线，只有一个公共点（1，n）,可知相应的方程ax2+bx+c=n有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式可对③进行判断；利用函数图象确定函数y2图象在y1上方时所对的x值范围，可对④进行判断；根据二次函数的最大值可对⑤进行判断.

解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，所以①错误；

∵抛物线的顶点为（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n﹣1有两个公共点，∴方程ax2+bx+c+1=n有两个不相等的实数根，所以②错误；

∵直线y=n与抛物线只有一个公共点（1，n），∴方程ax2+bx+c=n有两个相等的实数根，∴b2﹣4a（c﹣n）=0，即b2=4a（c﹣n），所以③正确；

∵抛物线与直线y2=mx+d（m≠0）与抛物线交于A（1，n），B（4，0），∴当1＜x＜4时，有y1＞y2，所以④错误；

∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴当x=1时，函数值最大，最大值为a+b+c，∴ax2+bx+c≤a+b+c，即ax2+bx≤a+b，所以⑤正确．

故答案为：③⑤．