Question

【题目】已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．

（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；

（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；

（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠AMG+∠CNG＝90°；（2）∠MGN+∠MPN＝90°；（3）∠AME＝50°．

【解析】

（1）过G作GH∥AB，依据两直线平行，内错角相等，即可得到∠AMG+∠CNG的度数；

（2）过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND=α，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得∠MGN=30°+α，∠MPN=60°-α，即可得到∠MGN+∠MPN=30°+α+60°-α=90°；

（3）过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF=x，∠GND=y，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠MEN=∠TEN-∠TEM=90°-y-2x，∠MGN=x+y，再根据2∠MEN+∠MGN=105°，即可得到2（90°-y-2x）+x+y=105°，求得x=25°，即可得出∠AME=2x=50°．

（1）如图1，过G作GH∥AB，

∵AB∥CD，

∴GH∥AB∥CD，

∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，

∵MG⊥NG，

∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；

（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，

∵GK∥AB，AB∥CD，

∴GK∥CD，

∴∠KGN＝∠GND＝α，

∵GK∥AB，∠BMG＝30°，

∴∠MGK＝∠BMG＝30°，

∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，

∴∠GMP＝∠BMG＝30°，

∴∠BMP＝60°，

∵PQ∥AB，

∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，

∵ND平分∠GNP，

∴∠DNP＝∠GND＝α，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠QPN＝∠DNP＝α，

∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α，

∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°；

（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，

∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，

∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，

∴∠AME＝2x，

∵GK∥AB，

∴∠MGK＝∠BMG＝x，

∵ET∥AB，

∴∠TEM＝∠EMA＝2x，

∵CD∥AB∥KG，

∴GK∥CD，

∴∠KGN＝∠GND＝y，

∴∠MGN＝x+y，

∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，

∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，

∵ET∥AB∥CD，

∴ET∥CD，

∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，

∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，

∵2∠MEN+∠MGN＝105°，

∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，

∴x＝25°，

∴∠AME＝2x＝50°．