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【题目】已知ABCD,点MN分别是ABCD上两点,点GABCD之间,连接MGNG

1)如图1,若GMGN,求∠AMG+∠CNG的度数;

2)如图2,若点PCD下方一点,MG平分∠BMPND平分∠GNP,已知∠BMG30°,求∠MGN+∠MPN的度数;

3)如图3,若点EAB上方一点,连接EMEN,且GM的延长线MF平分∠AMENE平分∠CNG2MEN+∠MGN105°,求∠AME的度数.

【答案】1)∠AMG+∠CNG90°;(2)∠MGN+∠MPN90°;(3)∠AME50°.

【解析】

1)过GGHAB,依据两直线平行,内错角相等,即可得到∠AMG+CNG的度数;

2)过GGKAB,过点PPQAB,设∠GND=α,利用平行线的性质以及角平分线的定义,求得∠MGN=30°+α,∠MPN=60°-α,即可得到∠MGN+MPN=30°+α+60°-α=90°

3)过GGKAB,过EETAB,设∠AMF=x,∠GND=y,利用平行线的性质以及角平分线的定义,可得∠MEN=TEN-TEM=90°-y-2x,∠MGN=x+y,再根据2MEN+MGN=105°,即可得到290°-y-2x+x+y=105°,求得x=25°,即可得出∠AME=2x=50°

1)如图1,过GGHAB

ABCD

GHABCD

∴∠AMG=∠HGM,∠CNG=∠HGN

MGNG

∴∠MGN=∠MGH+NGH=∠AMG+CNG90°

2)如图2,过GGKAB,过点PPQAB,设∠GNDα

GKABABCD

GKCD

∴∠KGN=∠GNDα

GKAB,∠BMG30°

∴∠MGK=∠BMG30°

MG平分∠BMPND平分∠GNP

∴∠GMP=∠BMG30°

∴∠BMP60°

PQAB

∴∠MPQ=∠BMP60°

ND平分∠GNP

∴∠DNP=∠GNDα

ABCD

PQCD

∴∠QPN=∠DNPα

∴∠MGN30°+α,∠MPN60°α

∴∠MGN+MPN30°+α+60°α90°

3)如图3,过GGKAB,过EETAB,设∠AMFx,∠GNDy

ABFG交于MMF平分∠AME

∴∠FME=∠FMA=∠BMGx

∴∠AME2x

GKAB

∴∠MGK=∠BMGx

ETAB

∴∠TEM=∠EMA2x

CDABKG

GKCD

∴∠KGN=∠GNDy

∴∠MGNx+y

∵∠CND180°NE平分∠CNG

∴∠CNG180°y,∠CNECNG90°y

ETABCD

ETCD

∴∠TEN=∠CNE90°y

∴∠MEN=∠TEN﹣∠TEM90°y2x,∠MGNx+y

2MEN+MGN105°

290°y2x+x+y105°

x25°

∴∠AME2x50°

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