Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从A出发，沿AB方向，以2cm/s的速度向点B运动，点Q从C出发，沿CA方向，以1cm/s的速度向点A运动；若两点同时出发，当其中一点到达端点时，两点同时停止运动，设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm²）
（1）t=2时，则点P到AC的距离是$\frac{16}{5}$cm，S=$\frac{32}{5}$cm²；
（2）t为何值时，PQ⊥AB；
（3）t为何值时，△APQ是以AQ为底边的等腰三角形；
（4）求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）作PH⊥AC于H，根据平行线的性质得到比例式，计算求出点P到AC的距离，根据三角形的面积公式求出△APQ的面积；
（2）根据相似三角形的判定定理证明△APQ∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（3）根据等腰三角形的三线合一和相似三角形的性质解答即可；
（4）根据题意列出二次函数解析式，运用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．

解答 解：经过t（s），AP=2t，CQ=t，AQ=6-t，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm
由勾股定理可求出AB=10cm，
（1）如图1，作PH⊥AC于H，
当t=2时，AP=4cm，AQ=6-2=4cm，
∵∠C=90°，PH⊥AC，
∴PH∥BC，
∴$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{PH}{8}$=$\frac{4}{10}$，
解得PH=$\frac{16}{5}$cm，
S=$\frac{1}{2}$×AQ×PH=$\frac{32}{5}$cm²．
故答案为$\frac{16}{5}$；$\frac{32}{5}$；
（2）当PQ⊥AB时，又∠C=90°，
∴△APQ∽△ACB，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{2t}{6}$=$\frac{6-t}{10}$，
解得t=$\frac{18}{13}$．
答：t=$\frac{18}{13}$时，PQ⊥AB；
（3）如图1，当△APQ是以AQ为底边的等腰三角形时，
AH=$\frac{1}{2}$AQ，
∵△APQ∽△ACB，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{AH}{6}$=$\frac{2t}{10}$，
解得AH=$\frac{6}{5}$t，
∴$\frac{6}{5}$t=$\frac{1}{2}$（6-t），
解得，t=$\frac{30}{17}$，
∴当t=$\frac{30}{17}$ 时，△APQ是以AQ为底边的等腰三角形；
（4）∵△APQ∽△ACB，
∴$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{PH}{8}$=$\frac{2t}{10}$，
解得，PH=$\frac{8}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$×AQ×PH=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{5}$t×（6-t）=-$\frac{4}{5}$（t-3）²+$\frac{36}{5}$，
∴t=3时，S_最大=$\frac{36}{5}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正确运用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键．