Question

12．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的动点，连接EF，过点C作AE的平行线，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．
（2）若AB=BC=2，∠ABC=120°，则在点E的运动过程中：
①当BE=1时，四边形DBEC是矩形；
②当BE=2时，四边形DBEC是菱形．

Answer 1

分析 （1）由AAS证明△CDF≌△BEF，得出DF=EF，即可证出四边形DBEC是平行四边形．
（2）①由矩形的性质得出∠AEC=90°，得出∠BCE=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出CE=$\frac{1}{2}$BC=1即可；
②由菱形得出BE=CE，证出△BCE是等边三角形，得出BE=BC=2．

解答 （1）证明：∵CD∥AE，
∴∠CDF=∠BEF，
∵点F是BC的中点，
∴CF=BF，
在△CDF和△BEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠BEF}&{\;}\\{∠CFD=∠BFE}&{\;}\\{CF=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△BEF（AAS），
∴DF=EF，
∴四边形DBEC是平行四边形．
（2）解：∵AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴∠A=∠BCA=30°，
∴∠CBE=30°+30°=60°，
①若四边形DBEC是矩形，
则∠AEC=90°，
∴∠BCE=90°-60°=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴当BE=1时，四边形DBEC是矩形；
故答案为：1；
②若四边形DBEC是菱形，则BE=CE，
∵∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC=2；
∴当BE=2时，四边形DBEC是菱形；
故答案为：2．

点评 本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．