Question

1．以?ABCD两邻边BC、CD为边向外作正三角形BCP、CDQ，求证：△APQ为正三角形．

Answer 1

分析 欲证明△APQ为正三角形即证明AP=AQ=PQ，只要证明△ABP≌△QDA≌△QCP即可．

解答 证明：在平行四边形ABCD中，
∵△BCP和△DCQ是等边三角形，
∴AB=DQ，BP=AD，∠ABP=∠ABC+60°，∠ADQ=∠ADC+60°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABP=∠ADQ，
在△ABP和△QDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DQ}\\{∠ABP=∠ADQ}\\{PB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△QDA，
∴AP=AQ，同理AB=CQ，CP=BP，
∵∠PCQ=360°-60°-60°-（180°-∠ABC）=60°+∠ABC，∠ABP=∠ABC+60°，
∴∠PCQ=∠ABP，
在△ABP和△QCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CQ}\\{∠ABP=∠PCQ}\\{PB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△QCP，
∴AP=PQ，
∴AP=PQ=AQ，
∴△APQ是等边三角形．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质问题，正确寻找全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．