Question

已知如图，点E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC．
（1）求证：∠ABE=∠C；
（2）若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=5，AC=8，求DC的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由AA证明△BAE∽△CAB，根据相似三角形的性质求解即可．
（2）由平行线中同位角相等及角平分线的定义求出△DAF≌△BAF，再根据线段关系求出DC即可．

解答：解：（1）∵∠AEB=∠ABC，∠BAE=∠CAB，
∴△BAE∽△CAB，
∴∠ABE=∠C，
（2）∵FD∥BC，
∴∠ADF=∠C，
∵∠ABE=∠C，
∴∠ADF=∠ABF，
∵AF平分∠BAE，
∴∠DAF=∠BAF，
在△DAF和△BAF中，

∠ADF=∠ABF ∠DAF=∠BAF AF=AF

，
∴△DAF≌△BAF（AAS）
∴AD=AB=5，
∵AC=8，
∴DC=AC-AD=8-5=3．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是求出△DAF≌△BAF．