Question

【题目】如图，，点是边上的点，平分，平分，有下列结论：①，②为的中点，③，④，其中正确的有______.（填序号）

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC+∠DCB=180°，又BE、CE都是角平分线，可以推出∠EBC+∠ECB=90°，从而得到∠BEC=90°，然后延长BE交CD的延长线于点F，先证明△BCE≌△FFE（ASA），得到BC=FC，BE=FE，然后证明△ABE≌△FDE（ASA），从而可以证明②③正确，AD与BC不一定相等，所以①不正确．

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠DCB=180°，

∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，

∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠BCD，

∴∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠BCD)=90°，

∴∠BEC=180°(∠EBC+∠ECB)=180°90°=90°，

∴BE⊥CE

故④正确；

如图，延长BE交CD延长线于F，

∵∠BEC=90°，

∴CE⊥BF，

∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE=∠FCE，

在△BCE与△FCE中，

∠BCE=∠FCE，EC=EC，∠BEC=∠FEC=90°，

∴△BCE≌△FFE(ASA)，

∴BC=FC，BE=FE，

∵AB∥CD，

∴∠ABE=∠F，

在△ABE与△FDE中，

∠ABE=∠F，BE=FE，∠AEB=∠FED，

∴△ABE≌△FDE(ASA)，

∴AB=DF，

∴BC=CF=CD+DF=CD+AB，故③正确；

∵△ABE≌△FDE，

∴AE=DE，即点E为AD的中点，故②正确；

∵AD≠BC，

∴AD≠CD+AB，故①错误；

故答案为：②③④.