Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=3cm，BD=4cm
（1）求该梯形的中位线的长；
（2）求该梯形的面积．

Answer 1

考点：梯形中位线定理,勾股定理

专题：

分析：（1）过点A作AE∥BD交CB的延长线于E，判断出四边形ADBE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得BE=AD，AE=BD，再求出AC⊥AE，然后利用勾股定理列式求出CE，再根据梯形的中位线等于两底边和的一半列式计算即可得解；
（2）设点A到BC的距离为h，利用△ACE的面积列出方程求出h，再根据梯形的面积等于中位线乘高列式计算即可得解．

解答：解：（1）如图，过点A作AE∥BD交CB的延长线于E，
∵AD∥BC，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∴BE=AD，AE=BD=4cm，
∵AC⊥BD，BD∥AE，
∴AC⊥AE，
∴CE=

AC2+AE2

=

32+42

=5cm，
∴梯形的中位线=

1

2

（AD+BC）=

1

2

（BE+BC）=

1

2

CE=

5

2

cm，
即该梯形的中位线为

5

2

cm；

（2）设点A到BC的距离为h，
则S_△ACE=

1

2

×5h=

1

2

×3×4，
解得h=

12

5

，
所以该梯形的面积=

5

2

×

12

5

=6．

点评：本题考查了梯形的中位线等于两底边和的一半，勾股定理，三角形的面积，梯形的问题，作出合适的辅助线是解题的关键．