Question

已知AB∥CD，探究下列几种情况：

（1）如图1，若∠EAF=

1

2

∠EAB，∠ECF=

1

2

∠ECD，求证：∠AFC=

1

2

∠AEC；
（2）如图2，若∠EAF=

1

3

∠EAB，∠ECF=

1

3

∠ECD，求证：∠AFC=

1

3

∠AEC；
（3）若∠AFC=

1

n

∠EAB，∠ECF=

1

n

∠ECD，则∠AFC与∠AEC的数量关系是

 

（用含有n的代数式表示，不证明）．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=2x°，∠ECD=2y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（2x°+2y°），求出∠AEC=2（x°+y°），∠AFC═x°+y°，即可得出答案．
（2）连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=3x°，∠ECD=3y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（3x°+3y°），求出∠AEC=3（x°+y°），∠AFC═2（x°+y°），即可得出答案．
（3）由（1）（2）可知∠AFC与∠AEC的数量关系是：∠AFC=

n-1

n

∠AEC．

解答：解：（1）如图1，连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=2x°，∠ECD=2y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+2x°+∠ACE+2y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（2x°+2y°），∠FAC+∠FCA=180°-（x°+y°）
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[180°-（2x°+2y°）]
=2x°+2y°
=2（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（x°+y°）]
=x°+y°
∴∠AFC=

1

2

∠AEC，

（2）如图2，连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=3x°，∠ECD=3y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+3x°+∠ACE+3y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（3x°+3y°），∠FAC+∠FCA=180°-（2x°+2y°）
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[180°-（3x°+3y°）]
=3x°+3y°
=3（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（2x°+2y°）]
=2x°+2y°
=2（x°+y°），
∴∠AFC=

2

3

∠AEC，

（3）若∠AFC=

1

n

∠EAB，∠ECF=

1

n

∠ECD，则∠AFC与∠AEC的数量关系是：∠AFC=

n-1

n

∠AEC；

点评：本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．