Question

如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数y=

m

x

（m≠0）的图象在第一象限有公共点A（1，2）．直线l⊥y轴于点D（0，3），与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：（1）分别把点A坐标代入y=kx+1和y=

m

x

可计算出k和m的值，从而得到一次函数与反比例函数的解析式；
（2）由于直线l⊥y轴于点D（0，3），则可得到B、C点的纵坐标都为3，再利用一次函数与反比例函数的解析式确定C点和B点坐标，然后根据三角形面积公式求解；
（3）先解方程组

y=x+1 y= 2 x

得到一次函数与反比例函数的图象交点坐标，然后利用函数图象的位置关系求解．

解答：解：（1）∵点A（1，2）在直线y=kx+1上，
∴k+1=2，解得k=1，
∴一次函数解析式为y=x+1；
∵点A（1，2）在反比例函数y=

m

x

的图象上，
∴m=1×2=2，
∴反比例函数解析式为y=

2

x

；

（2）∵直线l⊥y轴于点D（0，3），
∴B、C点的纵坐标都为3，
把y=3代入y=x+1得x+1=3，解得x=2，则C点坐标为（2，3），
把y=3代入y=

2

x

得x=

2

3

，则B点坐标为（

2

3

，3），
∴△ABC的面积=

1

2

×（3-2）×（2-

2

3

）=

2

3

；

（3）∵方程组

y=x+1 y= 2 x

为

x=1 y=2

或

x=-2 y=-1

，
∴一次函数与反比例函数的图象交点坐标为（1，2）、（-2，-1），
∴当x＜-2或0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例函数的值．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．