Question

解方程组

4y2 1+4y2 =y 4x2 1+4x2 =z 4z2 1+4z2 =x

．

Answer 1

考点：高次方程

专题：计算题

分析：先利用因式分解法解第一个方程得到y=0或y=2，再把第二个方程和第三个方程相减得到4x²-4z²=z-x+4zx²-4xz²，变形得（x-z）（4x+4z+1-4xz）=0，
所以x-z=0或4x+4z+1-4xz=0，当x=z时，与解①一样得到x=0或x=2，z=0或z=2，即x=y=0或x=z=2；当4x+4z+1-4xz=0，即x=

4z+1

4(z-1)

，把x=

4z+1

4(z-1)

代入第三个方程得4z²=

4z+1

4(z-1)

（1+4z²），此方程无解，于是原得到方程组有四组解．

解答：解：

4y2=y(1+4y2)① 4x2=z+4zx2② 4z2=x+4xz2③

，
由①得4y²-y（1+4y²）=0，
y（4y-1-4y²）=0，
y=0或4y-1-4y²=0，
所以y=0或y=2；
由②-③得4x²-4z²=z-x+4zx²-4xz²，
4（x+z）（x-z）+（x-z）-4xz（x-z）=0，
（x-z）（4x+4z+1-4xz）=0，
所以x-z=0或4x+4z+1-4xz=0，
当x=z，4x²=x+4x³，4z²=z+4z³，与解①一样得到x=0或x=2，z=0或z=2，
所以x=y=0或x=z=2，
当4x+4z+1-4xz=0，即x=

4z+1

4(z-1)

，
把x=

4z+1

4(z-1)

代入③得4z²=

4z+1

4(z-1)

（1+4z²），
整理得20z²+4z+1=0，此方程无解，
所以原方程组的解为

x=0 y=0 z=0

或

x=0 y=2 z=0

或

x=2 y=0 z=2

或

x=2 y=2 z=2

．

点评：本题考查了高次方程：整式方程中未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程；高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．