Question

已知抛物线y₁=ax²+bx+a（a＞2）与直线y₂=mx+1交于A（m，2）（m＞0），B（p，q）两个不同的点，且直线AB与y轴交于点C，求△OBC面积的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：把点A坐标代入直线解析式求出m=1，然后代入抛物线解析式求出a、b的关系，再联立两函数解析式消掉y得到关于x的一元二次方程，然后求出点B的横坐标，再根据三角形的面积a＞2进行判断即可．

解答：解：∵点A（m，2）在直线y₂=mx+1上，
∴m²+1=2，
解得m₁=1，m₂=-1（舍去），
∴点A的坐标为（1，2），
直线解析式为y₂=x+1，
代入抛物线得a+b+a=2，
∴b=2-2a，
联立

y=ax2+bx+a y=x+1

消掉y得，
ax²+（b-1）x+a-1=0，
所以，ax²+（1-2a）x+a-1=0，
解得x₁=1，x₂=

a-1

a

，
令x=0，则y=1，
所以，OC=1，
△OBC面积=

1

2

×1×

a-1

a

=

1

2

-

1

2a

，
∵a＞2，
∴

1

2a

＜

1

4

，
∴

1

2

-

1

2a

＞

1

2

-

1

4

＞

1

4

，
∴

1

4

＜△OBC面积＜

1

2

．

点评：本题考查了二次函数的性质，联立两函数解析式求交点坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征求出m的值是解题的关键，也是本题的突破口．